Question

Стальная проволока длиной 1 м закреплена одним концом так, что может совершать колебания в вертикальной плоскости. К свободному концу проволоки прикреплен груз массой 50 кг. Проволоку с грузом отклоняют на высоту подвеса и отпускают. Определить абсолютное удлинение проволоки в нижней точке траектории при движении груза. Площадь сечения проволоки 0,8 мм2, массой проволоки пренебречь.

Answer 1

Ответ:

Абсолютное удлинение проволоки в нижней точке траектории равно

8.93 мм

Объяснение:

L = 1 м

m = 50 кг

S = 0.8 мм² = 0,8·10⁻⁶ м²

Е = 2,1·10¹¹ Па - модуль упругости стали

g = 10 Н/кг - ускорение свободного падения

--------------------------------

ΔL - ? - удлинение проволоки

--------------------------------

Скорость груза в нижней точке траектории

$v = \sqrt{2gL} = \sqrt{2\cdot 10\cdot 1} = \sqrt{20} =2\sqrt{5}~(m/s)$

Сила, растягивающая проволоку в нижней точке траектории

$F = mg + \dfrac{mv^2}{L} = 50\cdot 10 + \dfrac{50\cdot 20}{1} = 1500~(N)$

Абсолютное удлинение проволоки в нижней точке траектории

$\Delta L=\dfrac{F\cdot L}{E\cdot S} =\dfrac{1500\cdot 1}{2.1\cdot10^{11}\cdot 0.8\cdot10^{-6}} =0.893\cdot10^{-2}~(m) = 8.93~(mm)$

Answer 2

Для определения абсолютного удлинения проволоки в нижней точке траектории при движении груза воспользуемся законами сохранения механической энергии.

Когда груз находится в нижней точке траектории, его потенциальная энергия превращается в кинетическую энергию и упругую потенциальную энергию проволоки.

1. Потенциальная энергия груза в верхней точке: $PE_{\text{верх}} = mgh,$

где $m$ - масса груза (50 кг), $g$ - ускорение свободного падения (приблизительно 9,81 м/с²), $h$ - высота подвеса (1 м).

2. Кинетическая энергия груза в нижней точке: $KE_{\text{низ}} = \frac{1}{2}mv^2,$

где $v$ - скорость груза в нижней точке. Поскольку энергия сохраняется, $PE_{\text{верх}} = KE_{\text{низ}}$.

3. Скорость груза в нижней точке (из закона сохранения энергии): $v = \sqrt{2gh}.$

4. Абсолютное удлинение проволоки в нижней точке траектории можно выразить через удлинение проволоки в покое и удлинение под действием нагрузки: $L_{\text{абс}} = L_0 + \Delta L,$

где

• $L_{\text{абс}}$ - абсолютное удлинение проволоки,
• $L_0$ - удлинение проволоки в покое (при нулевой нагрузке),
• $\Delta L$ - удлинение проволоки под действием нагрузки.

5. Удлинение проволоки под действием нагрузки можно выразить через упругость проволоки и силу натяжения: $\Delta L = \frac{F}{k},$

где

• $F$ - сила натяжения в проволоке в нижней точке траектории,
• $k$ - коэффициент упругости проволоки.

Сила натяжения $F$ равна силе тяжести груза $mg$ плюс силе упругости, вызванной удлинением проволоки: $F = mg + k\Delta L.$

6. Подставим выражение для $F$ в уравнение для $\Delta L$: $\Delta L = \frac{mg}{k} + \frac{\Delta L}{k}.$

7. Выразим $\Delta L$ через $L_0$ и решим уравнение: $\Delta L = \frac{mg}{k(1 - \frac{1}{k})}.$

8. Теперь можем выразить абсолютное удлинение проволоки: $L_{\text{абс}} = L_0 + \Delta L.$

Для расчетов нам нужно знать коэффициент упругости проволоки ($k$). Этот коэффициент зависит от свойств материала проволоки и может быть найден в литературных источниках. В данном случае, поскольку массой проволоки можно пренебречь, будем использовать только массу груза ($m = 50 \, \text{кг}$).

Теперь вычислим необходимые значения и найдем абсолютное удлинение проволоки.

$h = 1 \, \text{м}$ $g = 9.81 \, \text{м/с}^2$ $v = \sqrt{2gh}$ $L_{\text{абс}} = L_0 + \frac{mg}{k(1 - \frac{1}{k})}$

Пожалуйста, предоставьте значение коэффициента упругости проволоки ($k$), чтобы я мог выполнить расчеты и получить абсолютное удлинение проволоки.