Question

Дифракционная решётка с периодом 25 мкм, находящаяся на расстоянии 50 см от экрана, освещается светом с длиной волны 500 нм. Чему равно расстояние от максимума третьего порядка до центрального? Считать sinφ≈tgφ. Ответ выразите в мм.

Answer 1

Дано:

d = 25 мкм = 25*10^(-6) м

L = 50 см = 0,5 м

λ‎ = 500 нм = 500*10^(-9) м

sinφ ≈ tgφ

k = 3

D - ?

Решение:

Используем условие наблюдения максимумов дифракционной картины:

d*sinφ = +/-k*λ‎

Идущие от двух соседних щелей две вторичные волны (после падения на решётку основной волны) при разности хода в mλ‎ (m = 1, 2, 3...) будут усиливать друг друга, если синус угла между лучом каждой из волн и нормалью к решётке будет иметь определённое значение. И это распространяется на всю решётку (щелей у неё - огромное множеств). В нашем случае разность хода равна трём длинам волны: 3*λ‎. На экране наблюдается интерференционный максимум третьего порядка. Тогда условие наблюдения запишем так:

d*sinφ = k*λ‎, где k = 3

Центральный максимум - это интерференционная картина, образованная совокупностью всех вторичных волн, лучи которых направлены перпендикулярно дифракционной решётке, то есть нормально. Их лучи и есть нормали, по сути. Получается такой треугольник АBC, в котором АB - луч одной волны, АС - нормальный луч второй волны (нормаль), а BC - это расстояние между максимумом третьего порядка и центральным максимумом. Из тригонометрии известно, что отношение противолежащего катета (BC) к прилежащему (АС) равно тангенсу угла "φ" (угла между лучом волны и нормалью):

tgφ = BC/AC

По условию sinφ ≈ tgφ, тогда

tgφ ≈ sinφ = ВС/АС

Учитывая, что ВС = D, а АС = L, получаем:

sinφ = D/L, тогда D равно:

D = L*sinφ

Остаётся лишь выразить синус из условия наблюдения, подставить его выражение в полученное уравнение для D и найти значение D:

d*sinφ = k*λ‎

sinφ = (k*λ‎)/d

D = L*sinφ = L*((k*λ‎)/d) = (L*k*λ‎)/d = (0,5*3*500*10^(-9))/25*10^(-6) = (1,5*20*10^(-9))/10^(-6) = 30*10^(-3) = 0,03 м = 30 мм

Ответ: 30 мм.

Answer 2

Для определения расстояния от максимума третьего порядка до центрального максимума на экране при дифракции на решетке, мы можем использовать следующую формулу:

$d \sin(\theta) = m\lambda$

Где:

• $d$ - период решетки (25 мкм = 25 * 10^(-6) м)
• $\theta$ - угол между направлением на максимум третьего порядка и направлением на центральный максимум
• $m$ - порядок максимума (в данном случае, третий порядок, $m = 3$)
• $\lambda$ - длина волны света (500 нм = 500 * 10^(-9) м)

Нам нужно найти $\theta$, и затем мы сможем найти расстояние на экране до максимума третьего порядка.

$d \sin(\theta) = m\lambda$

$25 * 10^(-6) м * \sin(\theta) = 3 * 500 * 10^(-9) м$

Теперь найдем значение $\sin(\theta)$:

$\sin(\theta) = \frac{3 * 500 * 10^(-9) м}{25 * 10^(-6) м}$

$\sin(\theta) = 0.012$

Теперь найдем угол $\theta$, используя обратную тригонометрическую функцию:

$\theta = \arcsin(0.012)$

Используя калькулятор, найдем значение угла:

$\theta \approx 0.69°$

Теперь мы можем найти расстояние от максимума третьего порядка до центрального максимума на экране. Это расстояние равно $x$, где

$x = 2L \tan(\theta)$

где $L$ - расстояние от решетки до экрана (50 см = 0.5 м).

$x = 2 * 0.5 м * \tan(0.69°)$

$x \approx 0.017 м$

Чтобы выразить ответ в миллиметрах, умножим на 1000:

$x \approx 17 мм$

Таким образом, расстояние от максимума третьего порядка до центрального максимума на экране составляет примерно 17 миллиметров.