Question

На сколько километров изменилась высота орбиты космического корабля, если скорость его вращения вокруг Земли уменьшилась с 7,8 км/с до 7,6 км/с? Масса Земли 6·1024 кг, а радиус — 6400 км. Гравитационная постоянная G = 6,67⋅ 10−11 Н⋅м2/кг2. Ответ дайте целым числом.​

Answer 1

Ответ:  Высота орбиты изменилась на 350,76 км

Объяснение:  Дано:

V1 = 7,8 км/с = 7800 м/с

V2 = 7,6 км/с = 7600 м/с

Масса Земли Мз = 6·10^24 кг

Радиус Земли Rз = 6400 км = 6400000 м

Гравитационная постоянная G = 6,67⋅ 10^−11 Н⋅м2/кг2

Найти разность высот полета  h2 - h1 - ?

Первая космическая скорость для Земли на некоторой высоте полета h определяется выражением V = √G*Mз/(Rз+h).

Для скорости 7,8 км/с имеем  V1 = √G*Mз/(Rз+h1).  Здесь h1 - высота полета при скорости 7,8 км/с.  Возведем в квадрат уравнение. Имеем:  V1² = G*Mз/(Rз+h1).  Отсюда     h1 = (G*Mз/V1²) - Rз.

Аналогично для скорости V2  высота полета  h2 = (G*Mз/V2²) - Rз.

Разность высот полета h2 - h1 = (G*Mз/V2²) - Rз - {(G*Mз/V1²) - R} = (G*Mз/V1²) - (G*Mз/V2²) = G*Mз{(V1²-V2²)/V1²V2²}Подставив числовые значения величин имеем: h2 - h1 = 6,67*10^-11*6*10^24{(7800² - 7600²)/ 7800²*7600²} = 350761 метр = 350, 76 км

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии:

E1 = E2,

где E1 и E2 - энергии первого и второго состояний соответственно.

Энергия космического корабля в первом состоянии представляется как сумма его кинетической энергии (K) и потенциальной энергии (U) в силовом поле Земли:

E1 = K1 + U1.

Аналогично, второе состояние:

E2 = K2 + U2.

Кинетическую энергию можно выразить через формулу: K = (mv^2)/2, где m - масса корабля, v - скорость корабля, v^2 - квадрат скорости.

Потенциальная энергия U = -GMm/r, где G - гравитационная постоянная, M - масса Земли, m - масса корабля, r - радиус орбиты.

Таким образом, уравнение закона сохранения энергии можно записать следующим образом:

(mv1^2)/2 - GMm1/r1 = (mv2^2)/2 - GMm2/r2.

Раскроем скобки:

mv1^2/2 - GMm1/r1 = mv2^2/2 - GMm2/r2.

Выразим r2 через r1 и скорости V1 и V2:

r1 = r2 + Δr,

V1^2 = V2^2 + ΔV^2.

Подставим эти выражения:

mv1^2/2 - GMm1/(r2 + Δr) = mv2^2/2 - GMm2/r2.

После упрощения выражений и умножения на 2, получим:

m(v1^2 - v2^2) = 2GMm2/r2 - 2GMm1/(r2 + Δr).

Далее, сократим массу корабля m с обеих сторон, и преобразуем уравнение:

(v1^2 - v2^2) = 2GM/r2 - 2GM/(r2 + Δr),

(v1^2 - v2^2) = 2GM/r2 - 2GM/(r2 + Δr).\

Раскроем скобки:

v1^2 - v2^2 = (2GM/r2) - (2GM/(r2 + Δr)).

Подставим значения m, G, r и скорости v1 и v2:

(7.8^2 - 7.6^2) = (2 * 6.67 * 10^-11 * 6 * 10^24) / (6400*10^3) - (2 * 6.67 * 10^-11 * 6 * 10^24) / (6400*10^3 + Δr).

Упростим:

60.04 - 58.24 = 1.33 * 10^14 / (6400 + Δr) - 1.33 * 10^14 / 6400

1.8 = 2.08 * 10^7 / (6400 + Δr)

Умножим обе стороны на (6400 + Δr):

1.8 * (6400 + Δr) = 2.08 * 10^7

11520 + 1.8Δr = 2.08 * 10^7

1.8Δr = 2.08 * 10^7 - 11520

1.8Δr = 2.079884 * 10^7

Δr = 2.079884 * 10^7 / 1.8

Δr = 1.155491 * 10^7 км

Таким образом, высота орбиты космического корабля изменилась на приблизительно 11 554 910 километров.