Question

Период обращения Луны вокруг Земли равен 27 суткам. Считая орбиту Луны окружностью, определите радиус орбиты. Решение:По закону всемирного тяготения сила взаимодействия 1) , где — масса Земли, — масса Луны, — радиус орбиты Луны.С другой стороны, Луна движется только с центростремительным ускорением, значит по II закону Ньютона2) , где — центростремительное ускорение;3) , где — угловая скорость;4) , где — период обращения Луны вокруг Земли.5) 6) Тогда7) 8) К слову, масса Земли, которая фигурирует в последней формуле, была вычислена в 1798 году Генри Кавендишем на основе уже известного в то время радиуса Земли. Радиус же Земли был вычислен опытным путём в 240 году до нашей эры Эратосфеном Киренским. Поэтому предлагаю перейти в нашей формуле от массы Земли к радиусу Земли. Мы знаем, что тело на поверхности Земли движется с ускорением , и на основе вышеизложенного можем написать аналогичное уравнение9) , где — радиус Земли;10) Подставим массу Земли в формулу 8.

Answer 1

По закону всемирного тяготения сила взаимодействия

1) $F=G\frac{M_{e}M_{m}}{r^{2}}$, где $M_{e}$ — масса Земли, $M_{m}$ — масса Луны, $r$ — радиус орбиты Луны.

С другой стороны, Луна движется только с центростремительным ускорением, значит по II закону Ньютона

2) $F=M_{m}a$, где $a$ — центростремительное ускорение;

3) $a=w^{2}r$, где $w$ — угловая скорость;

4) $w=\frac{2\pi}{T}$, где $T$ — период обращения Луны вокруг Земли;

5) $a=\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r$

6) $F=M_{m}\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r$

Тогда

7) $G\frac{M_{m}M_{e}}{r^{2}}=M_{m}\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r$

8) $GM_{e}=\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r^{3}$

К слову, масса Земли, которая фигурирует в последней формуле, была вычислена в 1798 году Генри Кавендишем на основе уже известного в то время радиуса Земли. Радиус же Земли был вычислен опытным путём в 240 году до нашей эры Эратосфеном Киренским. Поэтому предлагаю перейти в нашей формуле от массы Земли к радиусу Земли. Мы знаем, что тело на поверхности Земли движется с ускорением $g$, и на основе вышеизложенного можем написать аналогичное уравнение

9) $G\frac{mM_{e}}{R_{e}^{2}}=mg$, где $R_{e}$ — радиус Земли;

10) $M_{e}=\frac{R_{e}^{2}g}{G}$

Подставим массу Земли в формулу 8.

$G\frac{R_{e}^{2}g}{G}=\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r^{3}$

$r=\sqrt[3]{\frac{R_{e}^{2}T^{2}g}{4\pi^{2}}}$

Answer 2

To solve for the radius of the Moon's orbit, we can use the formula derived from the law of universal gravitation and the centripetal acceleration.

Law of Universal Gravitation

The force of gravitational interaction between two bodies is given by the equation:

F = G * (m1 * m2) / r^2

Where: - F is the force of gravitational interaction - G is the gravitational constant - m1 and m2 are the masses of the two bodies - r is the distance between the centers of the two bodies

In this case, we are considering the Earth and the Moon, so m1 is the mass of the Earth, m2 is the mass of the Moon, and r is the radius of the Moon's orbit.

Centripetal Acceleration

The Moon moves in a circular orbit around the Earth, experiencing only centripetal acceleration. According to Newton's second law of motion, the centripetal acceleration can be expressed as:

a = (v^2) / r

Where: - a is the centripetal acceleration - v is the velocity of the Moon - r is the radius of the Moon's orbit

Period of the Moon's Orbit

The period of the Moon's orbit is given as 27 days. The period is the time taken for the Moon to complete one full revolution around the Earth.

Equating Forces and Acceleration

Since the force of gravity provides the centripetal force, we can equate the two equations:

G * (m1 * m2) / r^2 = (v^2) / r

Substituting Values

We know the period of the Moon's orbit is 27 days. To calculate the velocity, we can use the formula:

v = 2 * π * r / T

Where: - v is the velocity of the Moon - r is the radius of the Moon's orbit - T is the period of the Moon's orbit

Substituting this into the equation, we get:

G * (m1 * m2) / r^2 = (4 * π^2 * r^2) / T^2

Solving for the Radius

To solve for the radius of the Moon's orbit, we can rearrange the equation:

r = (√((G * (m1 * m2) * T^2) / (4 * π^2)))^(1/3)

We can substitute the known values for the gravitational constant (G), the masses of the Earth (m1) and the Moon (m2), and the period of the Moon's orbit (T) into the equation to calculate the radius.