Question

Однородный стержень длины l может колебаться в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси проходящей: а) через верхний конец стержня б) на расстоянии b от центра стержня. Найти отношение частот малых колебаний в двух этих случаях

Answer 1

Ответ:

$\sqrt{\dfrac{l^2+12b^2}{8lb}}$

Объяснение:

Выведем сначала выражение для частоты колебаний физического маятника. Пусть есть некоторое тело, закреплённое на неподвижной оси O, расстояние от которой до центра инерции тела равно a, и отклонённое на угол φ от положения равновесия.

На тело действует момент силы тяжести -mga sin φ, стремящийся вернуть его в положение равновесия. Если момент инерции тело относительно оси O равен J, то можно написать уравнение

$J\ddot\varphi=-mga\sin\varphi\\J\ddot\varphi+mga\sin\varphi=0$

Если угол отклонения мал, то можно заменить синус угла на сам угол, получится уравнение гармонических колебаний

$J\ddot\varphi+mga\varphi=0\\\ddot\varphi+\underbrace{\dfrac{mga}{J}}_{\omega_0^2}\varphi=0$

Найдём отношение квадратов частот.

Известно, что момент инерции однородного стержня массы m и длины l относительно оси, проходящей через его центр, равен ml² / 12. По теореме Штейнера момент инерции стержня относительно оси, сдвинутой на a относительно его центра, равен ml² / 12 + ma².

а) ось проходит через верхний конец стержня

a = l / 2, тогда J = ml² / 3.

ω₁² = mgl/2 : (ml² / 3) = 1.5 g / l

б) ось проходит на расстоянии b от центра

a = b; J = ml² / 12 + mb²

ω₂² = mgb / (ml² / 12 + mb²) = 12gb / (l² + 12b²)

Отношение квадратов частот:

ω₁ : ω₂ = (l² + 12b²) / (8 l b)

Тогда отношение частот будет равно квадратному корню из этого выражения.

Answer 2

Чтобы найти отношение частот малых колебаний в двух случаях, а именно при оси, проходящей через верхний конец стержня (случай а) и на расстоянии b от центра стержня (случай б), мы можем использовать формулу для периода колебаний однородного стержня:

T = 2π√(I/mgh)

где T - период колебаний, I - момент инерции стержня относительно оси вращения, m - масса стержня, g - ускорение свободного падения, h - вертикальное расстояние от оси вращения до центра масс стержня.

В случае а) ось проходит через верхний конец стержня, поэтому h = l/2. В случае б) ось проходит на расстоянии b от центра стержня, поэтому h = b.

Таким образом, формула для периода колебаний становится:

T_a = 2π√(I/mg(l/2))

T_b = 2π√(I/mgb)

Чтобы найти отношение частот, нужно поделить период колебаний в случае а) на период колебаний в случае б):

T_a/T_b = (2π√(I/mg(l/2))) / (2π√(I/mgb))

2π сокращаются, а √I также сокращаются:

T_a/T_b = √(l/2) / √b

Таким образом, отношение частот малых колебаний в случаях а) и б) равно √(l/2) / √b.