Question

Согласно плану местности домики Винни-Пуха, Пятачка, Совы и Кролика находятся в вершинах квадрата со стороной L=500м. К каждому домику ведут прямые тропинки. На тропинкемежду домиком Пятачка и домиком Совы находится прудик, где, как правило, грустит ослик Иа. В 10 часов утра Винни-Пух отправился к Пятачку. Винни-Пух двигался равномерно со скоростью v1=4 км/ч. В это же время шустрый Кроликнаправился к домику Совы и тоже двигался равномерно со скоростью v2=8км/ч. Когда Винни-Пух встретил Пятачка, они вместе продолжили равномерно двигаться со скоростью v3=3км/ч по тропинке к прудику. Аналогично поступили и встретившиеся Кролик и Сова. Почтенная Сова могла передвигаться несколько медленне, чем Кролик, поэтому скорость их равномерного движения была v4=2км/ч. Все четверо друзей Иа одновременно. На каком расстоянии от домика Совы находится \"прудик грусти\" ослика Иа? Ответ выразите в метрах.

Answer 1

запишем времена движения (общее время равны)
кролик до совы Т=0,58
потом вместе они х2 и пришли
пух до Пятачка Т + Т шел в 2 раза медленнее
Пух с Пят 500-х3 и тоже пришли
если приравнять то можно найти х

Answer 2

Расстояние между домиками Пятачка и Совы (или между Кроликом и Совой) равно длине стороны квадрата: $L=500\text{ м}$.

Первоначально Винни-Пух находится в домике, а Кролик — вне квадрата. Обозначим расстояние от домика Совы до места, где Иа грустит в пруду, через $x$.

Рассмотрим, как двигались две пары друзей, и найдем, когда они встретились.

Винни-Пух и Пятачок встретились на середине расстояния между своими домиками. Это произошло через время $$t_1=\frac{L}{2v_1}=\frac{500\text{ м}}{2\cdot4\text{ км/ч}}=\frac{1}{4}\text{ ч}=\frac{15}{60}\text{ ч}=0{,}25\text{ ч}.$$ На этот момент Винни-Пух и Пятачок находятся на расстоянии $L/2=250\text{ м}$ от начала координат (от домика Совы).

Кролик и Сова встретились также на середине расстояния между своими домиками, то есть в точке, противоположной прудику. Новое расстояние между Винни-Пухом и Кроликом теперь равно $L+x$. Известна скорость Кролика, но мы не знаем время, за которое он доберется до прудика. Обозначим это время через $t_2$. Тогда расстояние между Кроликом и Совой в момент встречи будет равно $x$, а расстояние от домика Совы до прудика — $L-x$. Из этого можно записать уравнение: $$v_2t_2=L-x=x+L-x=2x,$$ откуда $$t_2=\frac{2x}{v_2}=\frac{2x}{8\text{ км/ч}}=\frac{x}{4\text{ км/ч}}.$$ Значит, через время $t_2$ Кролик и Сова находятся на расстоянии $L/2$ от начала координат (от домика Совы).

В этот момент Винни-Пух и Пятачок двигаются вдоль тропинки как раз к точке, в которой должны встретиться Кролик и Сова. Найдем, в какой точке они встретятся. Расстояние, которое нужно пройти Винни-Пуху и Пятачку от своих домиков до прудика, равно $L/2+x$, и они проделают это путь со скоростью $v_3=3\text{ км/ч}$. Имя время, за которое они дойдут до сходнения с Кроликом и Совой, через $t_3$. Тогда $$v_3t_3=L/2+x,$$ откуда $$t_3=\frac{L/2+x}{v_3}=\frac{500\text{ м}+x}{3\text{ км/ч}}.$$

Кролик и Сова встретились с Винни-Пухом и Пятачком, проходя равные расстояния за равные промежутки времени. Значит, они сойдутся в середине пути от места встречи до прудика. Эта точка находится на расстоянии $L/4$ от домика Совы и расстоянии $L/4+x$ от домика Кролика.

Таким образом, в момент схода всей компании по $t_3$ часов ее члены находятся в таких точках: Винни-Пух и Пятачок — в $(L/4+x/2, L/2)$, Кролик и Сова — в $(3L/4+x/2, L/2)$.

Осталось найти это расстояние $x$. Для этого можно воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного домиками Совы, Кролика и прудиком Иа:

$$(L/4)^2+(3L/4)^2=x^2.$$

Отсюда находим:

$$x^2=\frac{5}{16}L^2=\frac{5}{16}\cdot 500^2\text{ м}^2=78125\text{ м}^2,$$

и окончательно:

$$x=125\sqrt{5}\text{ м} \approx 279,5\text{ м}.$$

Ответ: прудик грусти находится на расстоянии примерно $279{,}5$ м от домика Совы.