Question

Производная. Найти f’(-2): f(x)=(5-3x^2)(2x+6) Найти x, если f’(x)=0 для ф-и: 1)f(x)=4x^2-8x 2)f(x)=3x^2-4x^3

Answer 1

$1.\\f(x)=(5-3x^2)(2x+6)\\\\f'(x)=(5-3x^2)'\cdot(2x+6)+(5-3x^2)\cdot(2x+6)'=-6x\cdot(2x+6)+\\+(5-3x^2)\cdot2=-12x^2-36x+10-6x^2=-18x^2-36x+10\\\\f'(-2)=-18\cdot(-2)^2-36\cdot(-2)+10=-18\cdot4+72+10=-72+72+10=10$

$2.\\1)\;f(x)=4x^2-8x\\\\f'(x)=8x-8\\8x-8=0\\8x=8\\x=1\\\\\\2)\;f(x)=3x^2-4x^3\\\\f'(x)=6x-12x^2\\6x-12x^2=0\\6x(1-2x)=0\\x_1=0,\;x_2=\frac12$

Answer 2

Для того чтобы найти производную функции и решить уравнение f'(x) = 0, давайте начнем с вычисления производной функции f(x).

Вычисление производной функции f(x)

Для функции f(x) = (5-3x^2)(2x+6), мы можем воспользоваться правилом производной произведения и суммы, чтобы найти производную.

Для произведения (5-3x^2)(2x+6), мы можем применить правило производной произведения:

(fg)' = f'g + fg',

где f и g - функции, а f' и g' - их производные.

Применяя это правило, получим:

f'(x) = (5-3x^2)'(2x+6) + (5-3x^2)(2x+6)'

Вычисление производной первого слагаемого

Для первого слагаемого (5-3x^2)', мы можем применить правило производной суммы и разности:

(f-g)' = f' - g',

где f и g - функции, а f' и g' - их производные.

Применяя это правило, получим:

(5-3x^2)' = 5' - (3x^2)'

Так как 5 является константой, производная постоянной равна 0. А производная x^n, где n - степень, равна n*x^(n-1).

Таким образом, получим:

(5-3x^2)' = 0 - (3 * 2 * x^(2-1))

(5-3x^2)' = -6x

Вычисление производной второго слагаемого

Для второго слагаемого (2x+6)', производная линейной функции равна коэффициенту при x, то есть 2.

Таким образом, получим:

(2x+6)' = 2

Вычисление производной функции f(x)

Теперь, когда мы вычислили производные слагаемых, можем заменить их в выражении для f'(x):

f'(x) = (-6x)(2x+6) + (5-3x^2)(2)

f'(x) = -12x^2 - 36x + 10 - 6x^2

f'(x) = -18x^2 - 36x + 10

Нахождение x, при котором f'(x) = 0

Теперь нам нужно решить уравнение f'(x) = 0, чтобы найти значения x, при которых производная равна нулю.

-18x^2 - 36x + 10 = 0

Мы можем решить это уравнение, используя методы решения квадратных уравнений, например, квадратное уравнение можно решить с помощью формулы дискриминанта.

Дискриминант D для квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 равен D = b^2 - 4ac.

Если D > 0, то уравнение имеет два различных вещественных корня. Если D = 0, то уравнение имеет один вещественный корень. Если D < 0, то уравнение не имеет вещественных корней.

В нашем случае:

a = -18, b = -36, c = 10

D = (-36)^2 - 4*(-18)*10

D = 1296 + 720

D = 2016

Так как D > 0, у нас есть два различных вещественных корня.

Используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √D) / (2a)

Мы можем вычислить значения x:

x1 = (-(-36) + √2016) / (2*(-18))

x1 = (36 + √2016) / (-36)

x2 = (-(-36) - √2016) / (2*(-18))

x2 = (36 - √2016) / (-36)

Итак, мы нашли два значения x, при которых производная f'(x) равна нулю.