Question

Известно, что удвоенное произведение двух положительных чисел x и y равно 18. При каких значениях x и y их сумма будет наименьшей?​

Answer 1

По заданию 2(x*y ) = 18  или xy = 9.

Выразим вторую переменную через первую: y = 9/x.

Дано условие: f(x + y) ⇒ min.

Запишем функцию суммы: t = x + (9/x).

Производная этой функции равна: f' = 1 - (9/x²) = (x² - 9)/x.

Минимум функции при f' = 0.

(x² - 9)/x = 0,

x² - 9 = 0,

х =√9. Так по заданию х и у числа положительные, то ответ:

х = 3, у = 9/3 = 3.

Answer 2

Дано, что удвоенное произведение двух положительных чисел x и y равно 18:

2xy = 18

Разделим обе части уравнения на 2:

xy = 9

Теперь нам нужно найти значения x и y, при которых их сумма будет наименьшей. Для этого воспользуемся неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим:

(x + y)/2 ≥ √(xy)

Подставим значение xy = 9:

(x + y)/2 ≥ √9

(x + y)/2 ≥ 3

Умножим обе части неравенства на 2:

x + y ≥ 6

Таким образом, сумма x и y должна быть больше или равна 6. Но нам нужно найти значения x и y, при которых сумма будет наименьшей. При этом произведение xy должно быть равно 9.

Одно из возможных решений будет, когда x = 3 и y = 3. В этом случае сумма будет равна 6, что является наименьшей возможной суммой.

Таким образом, при значениях x = 3 и y = 3 сумма будет наименьшей.