Question

Интеграл от -1 до 0 xe^3x dx

Answer 1

$\displaystyle\\\int\limits^0_{-1} {xe^{3x}} \, dx=\{u=x ,\ dv=e^{3x};\ \ du=dx,\ v=\frac{e^{3x}}{3}\}=x*\frac{e^{3x}}{3}-\int \frac{e^{3x}}{3}dx=\\\\\\= x*\frac{e^{3x}}{3}-\frac{1}{3}\int e^{3x}dx=x*\frac{e^{3x}}{3}-\frac{1}{3}*\frac{1}{3}e^{3x}=\bigg(\frac{xe^{3x}}{3}-\frac{e^{3x}}{9} \bigg)\mid ^0_{-1}=\\\\\\=\frac{0e^{3*0}}{3}-\frac{e^{3*0}}{9}-\bigg(\frac{-1e^{3*(-1)}}{3}-\frac{e^{3*(-1)}}{9} \bigg)=-\frac{1}{9}+\frac{4}{9e^3}$

Answer 2

Давайте вычислим данный интеграл:

∫(-1 to 0) xe^(3x) dx

Для вычисления этого интеграла можно воспользоваться методом интегрирования по частям. Этот метод базируется на формуле:

∫ u dv = uv - ∫ v du

Где u и dv - это две функции, которые мы выбираем, чтобы разбить интеграл на две части, а du и v - их производные и интегралы соответственно.

Давайте выберем:

u = x dv = e^(3x) dx

Тогда:

du = dx v = (1/3)e^(3x)

Применяем формулу:

∫(-1 to 0) xe^(3x) dx = uv (-1 to 0) - ∫(-1 to 0) v du

Теперь вычислим каждую из частей:

uv (-1 to 0) = (0 * (1/3)e^0) - (-1 * (1/3)e^(-3)) = (1/3)e^(-3) - 0

∫(-1 to 0) v du = ∫(-1 to 0) (1/3)e^(3x) dx = (1/3) * (1/3)e^(3x) (-1 to 0) = (1/9)e^(0) - (1/9)e^(-3) = 1/9 - (1/9e^3)

Теперь сложим оба результата:

(1/3)e^(-3) - 1/9 + (1/9e^3)

Это будет окончательным ответом на ваш интеграл:

(1/3)e^(-3) + (1/9e^3) - 1/9