Question

Найдите все неотрицательные значения а, при каждом из которых функция f(x)= ax^4+4x^3-3x^2-5 имеет на отрезке [ -2; 2 ] ровно одну точку минимума.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

///////////////////////////

Answer 2

Для начала, давайте разберемся, как найти точки минимума функции. Точка минимума функции обычно находится в месте, где значение функции достигает наименьшего значения.

Данная функция f(x) = ax^4 + 4x^3 - 3x^2 - 5 является полиномиальной функцией четвертой степени. Чтобы найти точку минимума, мы должны найти экстремумы функции, то есть значения x, при которых производная функции равна нулю.

Нахождение производной функции

Для начала найдем производную функции f(x). Производная функции позволяет найти скорость изменения функции в каждой точке.

f'(x) = 4ax^3 + 12x^2 - 6x

Нахождение экстремумов функции

Теперь найдем значения x, при которых производная функции равна нулю:

4ax^3 + 12x^2 - 6x = 0

Мы можем разделить это уравнение на общий множитель и упростить его:

x(4ax^2 + 12x - 6) = 0

Таким образом, получаем два случая:

1) x = 0

2) 4ax^2 + 12x - 6 = 0

Решение уравнения 4ax^2 + 12x - 6 = 0

Для второго случая, решим уравнение 4ax^2 + 12x - 6 = 0 относительно x.

Мы можем использовать квадратное уравнение для решения этого уравнения:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

В данном случае, a = 4a, b = 12, c = -6.

x = (-12 ± √(12^2 - 4 * 4a * -6)) / (2 * 4a)

Поиск значений a

Теперь, чтобы найти значения a, при которых функция имеет ровно одну точку минимума на отрезке [-2; 2], мы должны проверить условие на количество экстремумов функции в этом отрезке.

Если функция имеет ровно одну точку минимума на отрезке [-2; 2], это означает, что уравнение 4ax^2 + 12x - 6 = 0 имеет один корень в этом интервале.

Завершение решения

Таким образом, чтобы найти все неотрицательные значения a, при которых функция f(x) = ax^4 + 4x^3 - 3x^2 - 5 имеет на отрезке [-2; 2] ровно одну точку минимума, необходимо:

1) Проверить условие на количество экстремумов функции в интервале [-2; 2], используя уравнение 4ax^2 + 12x - 6 = 0.

2) Решить уравнение 4ax^2 + 12x - 6 = 0 относительно x, используя квадратное уравнение.

3) Найти значения a, при которых уравнение 4ax^2 + 12x - 6 = 0 имеет один корень в интервале [-2; 2].

Пожалуйста, уточните, если вам нужны дополнительные шаги или уточнения.