Question

8. Из отрезка [-10;10] случайным образом выбирают два числа. Какова вероятность, что их сумма отрицательна, а произведение положительно?

Answer 1

Ответ:

$P= \frac{1}{4}$

Пошаговое объяснение:

Дано:

$a\in [-10; 10]; \: b \in [-10; 10]$

Найти:

$P( \{a+b0 \} ) = ?$

Решение

Рассмотрим вначале в каких случаях произведение а•b будет положительным:

$ab > 0 < = > \begin{cases} a > 0 \: \cup\:b > 0 \: \: \: \: \: (1) \\ a < 0 \: \cup\:b < 0\: \: \: \: \: (2)\end{cases}$

Мы выяснили, что а, b - должны быть одного знака: либо одновременно положительными (1), либо одновременно отрицательными(2)

При иных вариантах выбора a, b - условие не будет выполняться, они нам "неинтересны"

Теперь рассмотрим, случаи (1) и (2) на удовлетворение условию отрицательной суммы.

$(1) \: a {> }0 \: \cup\:b {> }0 \: = > \: a {+} b {>}{ 0} \notin \{ a {+ }b { < }0 \}\\(2) \: a { < }0 \: \cup\:b { < }0 \: = > \: a {+} b { < }{ 0} \in \{ a {+ }b { < }0 \}$

Мы выяснили, что условие отрицательной суммы

- в случае (1) НЕ выполняется

- в случае (2) - выполняется

Следовательно, при случайном выборе а, b из отрезка [-10; 10] вероятность, что

$P( \{a+b0 \} ) = \\ = P\{a{$

С учетом

$a\in [-10; 10]; \: b \in [-10; 10]$

получаем, что для выполнения условий нужно:

$a\in [-10; 0); \: b \in [-10; 0)$

А вероятность попадания а, b в заданный отрезок равна отношению длин полученного отрезка к исходному

$P(a\in [-10; 0)) = \frac{10}{20 }= \frac{1}{2} ; \\ \: P(b \in [-10; 0) ) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

А значит искомая вероятность равна

$P = P_{1} \times P_{2} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Ответ:

Вероятность Р равна ¼ или 25%

Answer 2

Чтобы найти вероятность того, что сумма выбранных чисел будет отрицательной, а произведение будет положительным, нужно разделить число благоприятных исходов на общее число возможных исходов.

В данной задаче число благоприятных исходов можно найти, зная, что сумма должна быть отрицательной, а произведение положительным. Возможны следующие варианты:

1) Если первое число выбрано отрицательным, а второе положительным, то сумма будет отрицательной, а произведение положительным. 2) Если первое число выбрано положительным, а второе отрицательным, то также сумма будет отрицательной, а произведение положительным.

Таким образом, всего существует 2 благоприятных исхода.

Общее число возможных исходов можно найти, учитывая, что из отрезка [-10;10] выбираются два числа. Количество возможных исходов равно количеству уникальных пар чисел из этого отрезка, что можно найти по формуле сочетаний:

C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)

Где n - количество элементов в отрезке, k - количество выбираемых элемент