Question

Y''-3y'-10y=sinx+3cos

Answer 1

Ответ:

$y = C_1e^{5x} + C_2e^{-2x} -\cfrac{3}{13}\cos{x} - \cfrac{2}{13}\sin{x}$

Пошаговое объяснение:

$y'' -3y' -10y = \sin{x}+3\cos{x} \\\\ y'' -3y' -10y = 0 \\\\ k^2 -3k - 10 = 0 \\\\ (k+2)(k-5) = 0\\\\k_1 = 5, \ k_2 = -2\\\\ Y = C_1e^{5x} + C_2e^{-2x}\\\\ \overline{y} = A\cos{x} + B\sin{x} \\\\ \overline{y}' = -A\sin{x} + B\cos{x} \\\\ \overline{y}'' = -A\cos{x} - B\sin{x} \\\\ \overline{y}'' - 3\overline{y}' - 10\overline{y} = \sin{x} +3\cos{x} \\\\ -A\cos{x} - B\sin{x} +3A\sin{x} - 3B\cos{x} -10A\cos{x} - \\\\ -10B\sin{x} = \sin{x} + 3\cos{x} \\\\ (-11A-3B)\cos{x} + (3A-11B)\sin{x} = \sin{x} + 3\cos{x}$

$\displaystyle \left \{ {{-11A-3B = 3} \atop {3A-11B = 1}} \right. \\\\\\ \left \{ {{-11A-3B = 3} \atop {9A-33B = 3}} \right. \\\\\\ \left \{ {{-11A-3B = 3} \atop {-20A+30B = 0}} \right. \\\\\\ \left \{ {{-11A-2A = 3} \atop {B=\cfrac{2}{3}A}} \right. \\\\\\ \left \{ {{A = -\cfrac{3}{13}} \atop {B=-\cfrac{2}{13}}} \right.$

$\overline{y} = -\cfrac{3}{13}\cos{x} - \cfrac{2}{13}\sin{x} \\\\ y = Y + \overline{y} = C_1e^{5x} + C_2e^{-2x} -\cfrac{3}{13}\cos{x} - \cfrac{2}{13}\sin{x}$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка, Y'' - 3y' - 10y = sin(x) + 3cos(x), мы можем использовать метод вариации постоянной. Этот метод предполагает, что решение уравнения может быть записано в виде y(x) = yh(x) + yp(x), где yh(x) - это общее решение однородного уравнения, а yp(x) - это частное решение неоднородного уравнения.

Однородное уравнение

Для начала, давайте найдем общее решение однородного уравнения, Y'' - 3y' - 10y = 0. Для этого мы предполагаем, что yh(x) имеет вид yh(x) = e^(rx), где r - это неизвестная константа.

Подставляя эту функцию в уравнение, получаем следующее: r^2e^(rx) - 3re^(rx) - 10e^(rx) = 0

Теперь давайте разделим это уравнение на e^(rx): r^2 - 3r - 10 = 0

Мы получили квадратное уравнение для поиска значений r. Решим его с помощью квадратного уравнения: (r - 5)(r + 2) = 0

Отсюда следует, что r = 5 или r = -2. Теперь у нас есть два значения r, которые являются решениями однородного уравнения.

Таким образом, общее решение однородного уравнения будет иметь вид: yh(x) = C1e^(5x) + C2e^(-2x), где C1 и C2 - это произвольные постоянные.

Частное решение

Теперь нам нужно найти частное решение неоднородного уравнения.

Для этого мы можем использовать метод вариации постоянной. Предположим, что частное решение имеет вид yp(x) = A sin(x) + B cos(x), где A и B - это неизвестные константы.

Подставляя это в уравнение, получаем: -(A + 3B) sin(x) + (B - 3A) cos(x) = sin(x) + 3cos(x)

Чтобы коэффициенты при sin(x) и cos(x) совпадали, необходимо выполнение следующих условий: A + 3B = -1 B - 3A = 3

Решая эти уравнения, получаем A = -3/10 и B = 7/10.

Таким образом, частное решение будет иметь вид: yp(x) = -3/10 sin(x) + 7/10 cos(x)

Общее решение

Итак, общее решение исходного уравнения будет иметь вид: y(x) = yh(x) + yp(x) = C1e^(5x) + C2e^(-2x) - 3/10 sin(x) + 7/10 cos(x)

Где C1 и C2 - это произвольные постоянные, которые могут быть определены из начальных условий или дополнительных ограничений, если они имеются.