Question

Sin π(4x–7)/6 = –√3/2

Answer 1

Ответ:

t=π(4x–7)/6

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение

sint=–√3/2

t=(–1)karcsin(–√3/2)+πk, k ∈ Z

t=(–1)k·(–π/3)+πk, k ∈ Z

t=(–1)k+1·(π/3)+πk, k ∈ Z

Обратный переход

π(4x–7)/6 =(–1)k+1·(π/3)+πk, k ∈ Z

Умножаем на (6/π):

4х – 7 = (–1)k+1·2+6k, k ∈ Z

4x= (–1)k+1·2 + 6k + 7 , k ∈ Z

Делим на 4

x= (–1)k+1·(1/2)+(3/2)·k+1,75, k ∈ Z

При k=0

получаем

x=(–1/2)+1,5·0 +1,75=1,25 > 0

Уменьшаем k

При k=–1

x=(1/2)+(3/2)·(–1)+1,75=0,5–1,5+1,75=0,75 >0

При k=–2

x=(–1/2)–3+1,75 < 0

О т в е т. 0,75 – наименьший положительный корень

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы должны найти значения переменной x, которые удовлетворяют уравнению. Давайте разберемся с этим поэтапно.

Шаг 1: Приведение уравнения к более простому виду

Начнем с раскрытия синуса в выражении. Мы знаем, что sin(π/3) = √3/2. Поэтому, мы можем заменить √3/2 в уравнении на sin(π/3), чтобы получить:

sin(π(4x–7)/6) = sin(π/3)

Шаг 2: Применение тригонометрического тождества

Теперь, чтобы решить уравнение sin(α) = sin(β), мы можем использовать тригонометрическое тождество:

sin(α) = sin(β) => α = β + 2πn или α = π - β + 2πn,

где n - целое число.

Шаг 3: Решение уравнения

Подставляя значения α = π(4x–7)/6 и β = π/3 в тригонометрическое тождество, мы получим:

π(4x–7)/6 = π/3 + 2πn или π(4x–7)/6 = π - π/3 + 2πn,

где n - целое число.

Решая первое уравнение, получим:

π(4x–7)/6 = π/3 + 2πn

Умножим обе стороны на 6/π:

4x–7 = 2 + 12n

Теперь добавим 7 к обеим сторонам:

4x = 9 + 12n

Разделим обе стороны на 4:

x = (9 + 12n)/4

Таким образом, первое уравнение имеет решение x = (9 + 12n)/4.

Решая второе уравнение, получим:

π(4x–7)/6 = π - π/3 + 2πn

Умножим обе стороны на 6/π:

4x–7 = 6 - 2 + 12n

Теперь добавим 7 к обеим сторонам:

4x = 11 + 12n

Разделим обе стороны на 4:

x = (11 + 12n)/4

Таким образом, второе уравнение имеет решение x = (11 + 12n)/4.

Ответ

Итак, уравнение sin(π(4x–7)/6) = –√3/2 имеет два набора решений:

1. x = (9 + 12n)/4 2. x = (11 + 12n)/4

где n - целое число. Эти решения удовлетворяют исходному уравнению.