Question

Найдите интеграл, используя метод интегрирования по частям: ∫(2x-9)cos(x/2) dx​

Answer 1

Ответ:

$2(2x-9)sin\frac{x}{2}+8cos\frac{x}{2}+C.$

Пошаговое объяснение:

посмотрите предложенное решение, в квадратных скобках показана замена; проверка не производилась.

Answer 2

Для решения данного интеграла, воспользуемся методом интегрирования по частям. Этот метод основан на формуле интегрирования по частям: ∫u dv = uv - ∫v du,

где u и v - это функции, а du и dv - их дифференциалы.

В данном случае, выберем u = (2x - 9) и dv = cos(x/2) dx. Тогда du = (d/dx)(2x - 9) dx = 2 dx и v = ∫cos(x/2) dx.

Интегрирование функции v

Для интегрирования функции v = ∫cos(x/2) dx, воспользуемся формулой замены переменной. Пусть t = x/2, тогда dt = (1/2) dx и dx = 2 dt. Подставляя это в выражение для v, получаем:

v = ∫cos(x/2) dx = ∫cos(t) (2 dt) = 2∫cos(t) dt = 2 sin(t) + C,

где C - постоянная интегрирования.

Продолжение интегрирования по частям

Теперь, используя формулу интегрирования по частям, получаем:

∫(2x - 9)cos(x/2) dx = u v - ∫v du = (2x - 9)(2 sin(t)) - ∫(2 sin(t))(2 dt) = 2(2x - 9) sin(t) - 4∫sin(t) dt = 2(2x - 9) sin(t) - 4(-cos(t)) + C = 2(2x - 9) sin(t) + 4cos(t) + C,

где C - постоянная интегрирования.

Обратная замена переменной

Теперь, чтобы получить итоговый ответ в переменной x, нужно вернуться к исходной переменной. Подставим обратную замену переменной t = x/2:

∫(2x - 9)cos(x/2) dx = 2(2x - 9) sin(t) + 4cos(t) + C = 2(2x - 9) sin(x/2) + 4cos(x/2) + C.

Таким образом, интеграл ∫(2x - 9)cos(x/2) dx равен 2(2x - 9) sin(x/2) + 4cos(x/2) + C, где C - постоянная интегрирования.