Question

Розв'яжіть нерівність f'(x) ≤ g'(x), якщо: 1) f(x)=e^x(x^2(-3x+1)), g(x)=2xe^x 2) f(x)=9^4x-1, g(x)=4*3^2x

Answer 1

Ответ:

Ниже

Пошаговое объяснение:

1) Спочатку знайдемо похідні функцій f(x) та g(x):

f'(x) = e^x(x^2(-3x+1) + 2x(-2x+1))

g'(x) = 2e^x(x + 1)

Тоді нерівність f'(x) ≤ g'(x) можна переписати у вигляді:

e^x(x^2(-3x+1) + 2x(-2x+1)) ≤ 2e^x(x+1)

Спрощуємо:

e^x(x^3 - 3x^2 + 2x) ≤ 2e^x(x+1)

x^3 - 3x^2 + 2x ≤ 2(x+1)

x^3 - 3x^2 + 2x ≤ 2x + 2

x^3 - 3x^2 ≤ 0

x^2(x - 3) ≤ 0

Звідси отримуємо інтервали, на яких нерівність буде виконуватись:

x ≤ 0, x ≥ 3

2) Знову знайдемо похідні функцій f(x) та g(x):

f'(x) = ln9 * 4 * 9^4x-1

g'(x) = ln3 * 4 * 3^2x

Нерівність f'(x) ≤ g'(x) можна переписати у вигляді:

ln9 * 4 * 9^4x-1 ≤ ln3 * 4 * 3^2x

ln(9/3) ≤ 2ln3x - 4ln9x + ln4 - ln4

ln(3) ≤ ln(3^2x/9^4x)

ln(3) ≤ ln(3^2x-4)

3 ≤ 3^2x-4

3 ≤ 9x-4

x ≥ 1/9

Answer 2

Для розв'язання даної нерівності потрібно спочатку знайти похідні функцій f(x) та g(x), а потім підставити їх у нерівність і вирішити її.

Знаходження похідних функцій:

Для функції f(x) використаємо правило добутку та ланцюжка: f'(x) = (e^x(x^2(-3x+1)))' = (e^x)'(x^2(-3x+1)) + e^x((x^2(-3x+1))' = (e^x)(x^2(-3x+1))' + e^x(2x(-3x+1)) = e^x(x^2(-3x+1))' + 2x(-3x+1)e^x

Аналогічно, для функції g(x): g'(x) = (2xe^x)' = (2x)'e^x + 2x(e^x)' = 2e^x + 2xe^x

Підстановка похідних у нерівність:

Замінимо f'(x) та g'(x) у нерівність f'(x) ≤ g'(x): e^x(x^2(-3x+1))' + 2x(-3x+1)e^x ≤ 2e^x + 2xe^x

Вирішення нерівності:

Для початку спростимо деякі частини нерівності: (x^2(-3x+1))' = (x^2)'(-3x+1) + x^2((-3x+1)') = 2x(-3x+1) + x^2(-3) = -6x^2 + 2x + x^2(-3) = -5x^2 + 2x 2x(-3x+1)e^x = -6x^2e^x + 2xe^x 2e^x + 2xe^x = 2(1+x)e^x

Тепер можемо записати спрощену нерівність: e^x(-5x^2 + 2x) - 6x^2e^x + 2xe^x ≤ 2(1+x)e^x

Скорочення нерівності:

e^x(-5x^2 - 6x^2 + 2x + 2x) ≤ 2(1+x)e^x - 2xe^x

e^x(-11x^2 + 4x) ≤ 2e^x(1+x) - 2xe^x

Скорочення нерівності:

e^x(-11x^2 + 4x) - 2e^x(1+x) + 2xe^x ≤ 0

Факторизація та розв'язок н