Question

Пожалуйста, помогите мне решить, нужно сдавать работу, а я все еще мучаюсь с этим примером. Буду очень благодарна! Концами отрезка являются точки P(‒5;‒3) и Q(7;5). Найдите координаты точек, которые делят его на четыре равные части.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Когда существуют условия деления отрезка в определенном отношении, необходимо уметь определять координаты точки, служащей разделителем. Выведем формулу для нахождения этих координат, поставив задачу на плоскости. Определение координат точки, делящей отрезок в заданном отношении, на плоскости Исходные данные: задана прямоугольная система координат O x y Oxy и две лежащие на ней, несовпадающие точки с заданными координатами  A ( x A , y A ) A(xA,yA) и  B ( x B , y B ) B(xB,yB) . А также задана точка С С, делящая отрезок А В АВ в отношении λ λ (некоторое положительное действительное число). Необходимо определить координаты точки С С:  x C xC и  y C yC . Перед тем, как приступить к решению поставленной задачи, немного раскроем смысл заданного условия: «точка С С, делящая отрезок А В АВ в отношении λ λ». Во-первых, это выражение свидетельствует о том, что точка С С лежит на отрезке А В АВ (т.е. между точками А А и В В). Во-вторых, понятно, что согласно заданному условию отношение длин отрезков А С АС и С В СВ равно λ λ. Т.е. верно равенство: open A C | open C B | = λ ACCB=λ . В этом случае точка А А – начало отрезка, точка В В – конец отрезка. Если бы было задано, что точка С С делит в заданном отношении отрезок В А ВА, тогда верным было бы равенство: . Ну и совсем очевидный факт, что если λ   =   1 λ = 1, то точка С С является серединой отрезка А В АВ. Решим поставленную задачу при помощи векторов. Отобразим произвольно в некой прямоугольной системе координат точки А А, В В и точку С С на отрезке А В АВ. Построим радиус-векторы указанных точек, а также векторы −−→ A C AC→ и  −−→ C B CB→ . Согласно условиям задачи, точка С С делит отрезок А В АВ в отношении λ λ. Координаты радиус-вектора точки равны координатам точки, тогда верны равенства:  −−→ O A = ( x A ,   y A ) OA→=(xA, yA) и  −−→ O B =   ( x B   ,   y B ) OB→= (xB , yB) . Определим координаты вектора : они будут равны координатам точки С С, которые и требуется найти по условию задачи. Используя операцию сложения векторов, запишем равенства:  −−→ O C = −−→ O A + −−→ A C         −−→ O B = −−→ O C + −−→ C B ⇔ −−→ C B = −−→ O B − −−→ O C OC→=OA→+AC→    OB→=OC→+CB→⇔CB→=OB→-OC→ По условию задачи точка С С делит отрезок А В АВ в отношении λ λ, т.е. верно равенство  open A C | = λ ⋅ open C B | AC=λ·CB . Векторы  −−→ A C AC→ и  −−→ C B CB→ лежат на одной прямой и являются сонаправленными. λ   >   0 λ > 0 по условию задачи, тогда, согласно операции умножения вектора на число, получим:  −−→ A C   = λ ⋅ −−→ C B AC →=λ·CB→ . Преобразуем выражение, подставив в него :  −−→ C B = −−→ O B − −−→ O C CB→=OB→-OC→ . −−→ A C = λ ⋅ ( −−→ O B − −−→ O C ) AC→=λ·(OB→-OC→) . Равенство  −−→ O C = −−→ O A + −−→ A C OC→=OA→+AC→ перепишем как  −−→ O C = −−→ O A + λ ⋅ ( −−→ O B − −−→ O C ) OC→=OA→+λ·(OB→-OC→) . Используя свойства операций над векторами, из последнего равенства следует:  −−→ O C = 1 1 + λ ⋅ ( −−→ O A + λ ⋅ −−→ O B ) OC→=11+λ·(OA→+λ·OB→) . Теперь нам остается непосредственно вычислить координаты вектора  −−→ O C = 1 1 + λ ⋅ ( −−→ O A + λ ⋅ −−→ O B ) OC→=11+λ·OA→+λ·OB→ . Выполним необходимые действия над векторами  −−→ O A OA→ и  −−→ O B OB→ . −−→ O A   = ( x A   ,   y A ) OA →=(xA

Answer 2

Чтобы найти точки, которые делят отрезок между P(-5, -3) и Q(7, 5) на четыре равные части, можно воспользоваться параметрическим представлением отрезка.

Пусть M(t) - это точка, которая делит отрезок PQ в отношении t:1-t. Тогда координаты точки M можно найти следующим образом:

\[ M(t) = (1-t) \cdot P + t \cdot Q \]

Где \( P = (-5, -3) \) и \( Q = (7, 5) \).

Подставим значения и решим уравнения:

\[ M_x(t) = (1-t) \cdot (-5) + t \cdot 7 \] \[ M_y(t) = (1-t) \cdot (-3) + t \cdot 5 \]

Теперь найдем значения t, при которых отрезок PQ делится на четыре равные части. Так как мы хотим четыре равные части, то каждая часть должна составлять 1/4 от всего отрезка.

\[ t_1 = \frac{1}{4} \] \[ t_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] \[ t_3 = \frac{3}{4} \]

Подставим каждое из этих значений t в уравнения для \( M_x(t) \) и \( M_y(t) \) и найдем координаты соответствующих точек:

1. Когда \( t = \frac{1}{4} \): \[ M(\frac{1}{4}) = (1-\frac{1}{4}) \cdot P + \frac{1}{4} \cdot Q \] 2. Когда \( t = \frac{1}{2} \): \[ M(\frac{1}{2}) = (1-\frac{1}{2}) \cdot P + \frac{1}{2} \cdot Q \] 3. Когда \( t = \frac{3}{4} \): \[ M(\frac{3}{4}) = (1-\frac{3}{4}) \cdot P + \frac{3}{4} \cdot Q \]

Вычислите значения и получите координаты точек, которые делят отрезок PQ на четыре равные части.