Question

основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетами √40 и 9 см. найдите объём и площадь боковой поверхности призмы, если ее наибольшая боковая грань - квадрат.

Answer 1

Ответ:

Дана прямая призма. Значит все её боковые грани перпендикулярны основаниям.

Назовем призму АВСА₁В₁С₁.

По условию в основании призмы лежит прямоугольный треугольник.

Значит ΔАВС прямоугольный с катетами АВ=6 и ВС=8.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу АС.

AC=sqrt{AB^2+BC^2}=sqrt{6^2+8^2}=sqrt{36+64}=sqrt{100}=10

Найдем высоту призмы.

По условию наибольшая боковая грань призмы - квадрат.

Т.к. в призме все боковые ребра равны, то большей будет та грань, которая содержит большее ребро основания.

А это гипотенуза ΔАВС.

АА₁С₁С - большая боковая грань призмы. Она является квадратом.

АС=СС₁=10

Высота прямой призмы равна длине её бокового ребра.

Высота призмы АВСА₁В₁С₁ равна 10.

Чтобы найти площадь боковой поверхности прямой призмы, нужно периметр её основания умножить на высоту.

Sбок=Pосн*h=(10+8+6)*10=24*10=240 (см²)

Answer 2

Для решения задачи, давайте начнем с поиска основания прямой призмы. Вы утверждаете, что основание - прямоугольный треугольник с катетами \( \sqrt{40} \) и 9 см.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике с катетами \(a\) и \(b\) и гипотенузой \(c\) выполняется следующее уравнение:

\[c^2 = a^2 + b^2.\]

Заменяем значения:

\[c^2 = (\sqrt{40})^2 + (9)^2.\]

\[c^2 = 40 + 81.\]

\[c^2 = 121.\]

\[c = \sqrt{121}.\]

\[c = 11.\]

Таким образом, гипотенуза прямоугольного треугольника равна 11 см.

Теперь, когда у нас есть гипотенуза, мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник со сторонами 9 см, \( \sqrt{40} \) см и 11 см. Мы знаем, что прямоугольный треугольник со сторонами 9 см и \( \sqrt{40} \) см - это основание прямой призмы.

Теперь, чтобы найти объем и площадь боковой поверхности призмы, нужно использовать следующие формулы:

1. Объем прямой призмы:

\[V = B \cdot h,\]

где \( B \) - площадь основания, а \( h \) - высота призмы.

2. Площадь боковой поверхности прямой призмы:

\[S_{\text{бок}} = P \cdot h,\]

где \( P \) - периметр основания, а \( h \) - высота призмы.

Площадь основания \( B \) равна:

\[B = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot \sqrt{40}.\]

\[B = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 2\sqrt{10}.\]

\[B = 9\sqrt{10}.\]

Теперь мы можем рассчитать объем призмы:

\[V = B \cdot h.\]

\[V = 9\sqrt{10} \cdot 11.\]

\[V = 99\sqrt{10} \, \text{см}^3.\]

Теперь найдем периметр основания \( P \):

\[P = 9 + \sqrt{40} + 11.\]

\[P = 20 + \sqrt{40}.\]

Теперь рассчитаем площадь боковой поверхности:

\[S_{\text{бок}} = P \cdot h.\]

\[S_{\text{бок}} = (20 + \sqrt{40}) \cdot 11.\]

\[S_{\text{бок}} = 220 + 11\sqrt{40} \, \text{см}^2.\]

Таким образом, объем прямой призмы равен \(99\sqrt{10} \, \text{см}^3\), а площадь боковой поверхности равна \(220 + 11\sqrt{40} \, \text{см}^2\).