Question

Найти площадь криволинейной трапеции 1<=x<=2 0<=y<=x^2

Answer 1

$S = \int\limits^2_1 {x^2} \, dx = \frac{x^{3}}{3}| \limits^2_1 = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

Answer 2

Для нахождения площади криволинейной трапеции в данном случае, нужно вычислить определенный интеграл двойного интеграла по заданной области.

Заданная область

Дано условие: 1 ≤ x ≤ 2 и 0 ≤ y ≤ x^2. Мы должны найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой областью.

Шаг 1: Построение графика

Для начала, давайте построим график данной области, чтобы лучше визуализировать задачу.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(1, 2, 100)
y = np.linspace(0, x**2, 100)

plt.plot(x, y)
plt.fill_between(x, 0, y, alpha=0.3)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Graph of the Region')
plt.grid(True)
plt.show()

График показывает область, ограниченную кривой y = x^2 и осями x и y.

Шаг 2: Вычисление площади

Для вычисления площади криволинейной трапеции, мы будем использовать двойной интеграл:

S = \iint_D dA

где D - это область, ограниченная кривой y = x^2 и осями x и y.

Мы можем выразить эту область в виде более простых пределов интегрирования:

S = \int_{1}^{2} \int_{0}^{x^2} dy dx

Шаг 3: Вычисление интеграла

Выполним вычисление интеграла:

from scipy.integrate import dblquad

def integrand(y, x):
    return 1

area, error = dblquad(integrand, 1, 2, lambda x: 0, lambda x: x**2)
print("Площадь криволинейной трапеции: ", area)

Полученный результат будет являться площадью криволинейной трапеции.

Ответ

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной условием 1 ≤ x ≤ 2 и 0 ≤ y ≤ x^2, равна (4/3) единицам площади.