Question

Мудрецам A и B выдали по натуральному числу и сказали, что эти числа различаются на 1. «Я не знаю, знаешь ли ты моё число», сказал A, обращаясь к B. Какое число у A?

Answer 1

Ответ:

Если число одного из гениев равно m, то он знает, что число другого гения равно либо m + 1, либо m – 1; ему остаётся определить только то, какая из этих двух возможностей имеет место. Когда гений A отвечает на вопрос "Знаешь ли ты моё число?" в первый раз, он может ответить положительно только если его число равно 1 (в этом случае число второго однозначно равно 2). Если ответ был отрицательный, то второй гений B узнает, что число A не равно 1 (хотя он это и так знает, если его число больше 2!). Далее, если при втором задании вопроса B отвечает отрицательно, то A узнает, что число B не равно 1 и 2 (если число B равно 2, он наверняка знал бы, что число A равно 3, поскольку после первого вопроса он знает, что оно не равно 1).

Пусть перед очередным вопросом одного из гениев (для определенности, A) обоим гениям известно, что число A не равно 1, 2, ..., k, а число B не равно 1, 2, ..., k – 1. Если B ответил отрицательно, то его число не равно k (иначе он бы знал, что число A равно k + 1, также его число не равно k + 1 (иначе он бы знал, что число A равно k + 2, поскольку оно не может быть равно k). Итак, в случае отрицательного ответа B мы приходим к ситуации, аналогичной только что рассмотренной: перед вопросом B обоим гениям известно, что число B не равно 1, 2, ..., k + 1, а число A не равно 1, 2, ..., k.

Далее при повторении отрицательных ответов каждый из гениев будет постепенно определять, что число другого гения не равно ни одному числу из начального отрезка натурального ряда. Так как числа гениев конечны, то процесс отрицательных ответов рано или поздно прекратится; это означает, что один из гениев ответит на вопрос положительно

Answer 2

Давайте разберемся с данной задачей.

Пусть число мудреца A обозначается как \(a\), а число мудреца B обозначается как \(b\). Условие гласит, что числа различаются на 1, то есть \(|a - b| = 1\). Также, мудрец A говорит мудрецу B: "Я не знаю, знаешь ли ты моё число."

Это означает, что число мудреца A не может быть уникальным, иначе мудрец B, зная своё число, мог бы определить число мудреца A. Следовательно, число мудреца A должно быть таким, что оно встречается у двух мудрецов.

Так как числа различаются на 1, то возможны два варианта:

1. \(a = b + 1\) 2. \(b = a + 1\)

Допустим, первый вариант. Тогда число мудреца A (\(a\)) больше числа мудреца B (\(b\)) на 1. Если мудрец B знает своё число, то он должен знать и число мудреца A, так как они различаются на 1. Но мудрец A говорит, что не знает, знает ли мудрец B его число. Это противоречие.

Следовательно, возможен только второй вариант: \(b = a + 1\). Теперь число мудреца B больше числа мудреца A на 1. Если мудрец B знает своё число, то он знает и число мудреца A, так как они различаются на 1. С учётом этого, мудрец A, зная, что числа различаются на 1, понимает, что его число - \(a\) - меньше числа мудреца B на 1.

Таким образом, мы имеем:

\[a < b\] \[b = a + 1\]

Таким образом, у нас есть система уравнений, которую мы можем решить:

\[a < b\] \[b = a + 1\]

Если подставить второе уравнение в первое, получим:

\[a < (a + 1)\]

Это верно для любого натурального числа \(a\). Таким образом, мы не можем однозначно определить число мудреца A. Однако, если нужно предложить конкретное число, можно выбрать, например, \(a = 1\) и \(b = 2\), и условия задачи будут выполнены.