Question

Найдите количество способов покрасить все узлы квадратной сетки 10 × 10 (длины сторон сетки) в 2 цвета так, чтобы при её повороте на 90 градусов вокруг центра по часовой стрелке сетка перешла бы сама в себя.

Answer 1

Ответ:

2^25

Пошаговое объяснение:

Разобъем квадрат на 4 квадрата 5х5. Заданная раскраска одного такого квадрата полностью задает всю раскраску исходного квадрата, так как при повороте из условия каждый такой квадрат "переходит" в следующий по часовой стрелке.

Число различных раскрасок квадрата 5х5 в 2 краски равно 2^25 (каждую клетку можно покрасить в один из двух цветов).

Answer 2

Для решения этой задачи можно воспользоваться методом комбинаторики.

Для начала посчитаем количество способов покрасить узлы сетки 10x10 в 2 цвета. Каждый узел можно покрасить в один из двух цветов, поэтому количество способов покрасить один узел равно 2. Таким образом, общее количество способов покрасить все узлы сетки равно 2 в степени количества узлов, то есть 2^100 (поскольку всего 100 узлов в квадратной сетке 10x10).

Теперь найдем количество способов, при которых поворот сетки на 90 градусов вокруг центра по часовой стрелке приводит к тому, что сетка переходит сама в себя. После поворота каждый узел должен остаться покрашенным в тот же цвет, что и до поворота.

Поскольку у нас есть 2 цвета, то количество способов покрасить узлы сетки так, чтобы поворот на 90 градусов сохранял раскраску, равно сумме количества способов покрасить узлы в один цвет (все белые или все черные) и количества способов покрасить узлы в разные цвета (поочередно черные и белые).

Таким образом, общее количество способов, при которых поворот сетки на 90 градусов вокруг центра по часовой стрелке приводит к тому, что сетка переходит сама в себя, равно 2^100 + 2.

Итак, количество способов покрасить все узлы квадратной сетки 10x10 в 2 цвета так, чтобы при её повороте на 90 градусов вокруг центра по часовой стрелке сетка перешла бы сама в себя, равно 2^100 + 2.