Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2, y=2–x

Answer 1

Ответ:

S= ∫ 0–2(2–x–x2)dx=(2x–(x2/2)–(x3/3))|0–2=

=0–(–4–2+8/3)=6–8/3=10/3

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций \(y = x^2\) и \(y = 2 - x\), нужно найти точки их пересечения. После этого интегрируем разность функций по оси x в пределах от наименьшего до наибольшего значения x.

1. Найдем точки пересечения \(y = x^2\) и \(y = 2 - x\):

\[ x^2 = 2 - x \]

Переносим все члены уравнения в одну сторону:

\[ x^2 + x - 2 = 0 \]

Факторизуем или используем квадратное уравнение:

\[ (x + 2)(x - 1) = 0 \]

Таким образом, \(x = -2\) и \(x = 1\).

2. Теперь мы можем вычислить площадь, интегрируя разность функций \(y = x^2\) и \(y = 2 - x\) по оси x от -2 до 1:

\[ \text{Площадь} = \int_{-2}^{1} (x^2 - (2 - x)) \,dx \]

Раскрываем скобки и интегрируем:

\[ \text{Площадь} = \int_{-2}^{1} (x^2 - 2 + x) \,dx \]

Интегрируем каждый член отдельно:

\[ \text{Площадь} = \left[\frac{x^3}{3} - 2x + \frac{x^2}{2}\right]_{-2}^{1} \]

Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

\[ \text{Площадь} = \left(\frac{1}{3} - 2 + \frac{1}{2}\right) - \left(\frac{-8}{3} + 4 - 2\right) \]

Упростим выражение:

\[ \text{Площадь} = \frac{1}{6} + \frac{2}{3} = \frac{5}{6} \]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций \(y = x^2\) и \(y = 2 - x\), равна \(\frac{5}{6}\) квадратных единиц.