Question

РЕШИТЕ СИСТЕМУ УРАВНЕНИЙ{√y+√x=7 {√xy=12​

Answer 1

{√y+√x=7

{√xy=12

x, y > 0

√x = a > 0

√y = b

a + b = 7

ab = 12

a = 7 - b

(7 - b)b = 12

7b - b² = 12

b² - 7b + 12 = 0

D = 49 - 4*12 = 1

b₁₂ = (7 ± 1)/2 = 3   4

1. b = 3

√y = 3

y = 9

a = 7 - b = 7 - 3 = 4

√x = 4

x = 16

2. b = 4

√y = 4

y = 16

a = 7 - b = 7 - 4 = 3

√x = 3

x = 9

ответ (9, 16) (16, 9)

Answer 2

Давайте решим систему уравнений:

1. \( \sqrt{y} + \sqrt{x} = 7 \) 2. \( \sqrt{xy} = 12 \)

Для начала, возведем обе стороны первого уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

1. \( (\sqrt{y} + \sqrt{x})^2 = 7^2 \) \[ y + 2\sqrt{xy} + x = 49 \]

Теперь мы можем заменить \( \sqrt{xy} \) в уравнении выше на значение из второго уравнения:

2. \( y + 2\sqrt{xy} + x = 49 \) \[ y + 2 \cdot 12 + x = 49 \] \[ y + 24 + x = 49 \]

Теперь, учитывая второе уравнение, где \( \sqrt{xy} = 12 \), можем заменить \( \sqrt{xy} \) на 12:

\[ y + 24 + x = 49 \]

Теперь выразим одну переменную через другую. Давайте, например, выразим \( y \) через \( x \):

\[ y = 49 - 24 - x \]

Теперь подставим это значение \( y \) во второе уравнение:

\[ \sqrt{xy} = 12 \] \[ \sqrt{x(49 - 24 - x)} = 12 \]

Возводим обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[ x(49 - 24 - x) = 144 \] \[ x(25 - x) = 144 \] \[ 25x - x^2 = 144 \]

Получившийся квадратный трехчлен можно привести к виду:

\[ x^2 - 25x + 144 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем факторизовать его или воспользоваться формулой для корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В данном случае, у нас \( a = 1, b = -25, c = 144 \). Подставим значения:

\[ x = \frac{25 \pm \sqrt{(-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144}}{2 \cdot 1} \]

\[ x = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 576}}{2} \]

\[ x = \frac{25 \pm \sqrt{49}}{2} \]

Таким образом, у нас два корня:

\[ x_1 = \frac{25 + 7}{2} = 16 \] \[ x_2 = \frac{25 - 7}{2} = 9 \]

Теперь, используя выражение для \( y \), найдем соответствующие значения \( y \):

\[ y_1 = 49 - 24 - x_1 = 9 \] \[ y_2 = 49 - 24 - x_2 = 16 \]

Таким образом, система имеет два решения: (9, 16) и (16, 9).