Question

Доказать, что число 5^(72)-1 делится на 31

Answer 1

Ответ:

......................................................

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для доказательства того, что число 5^72 - 1 делится на 31, мы будем использовать малую теорему Ферма и метод подстановки.

Малая теорема Ферма утверждает, что если p - простое число и a - целое число, не делящееся на p, то a^(p-1) ≡ 1 (mod p). То есть, a^(p-1) при делении на p будет иметь остаток 1.

В нашем случае, p = 31 и a = 5. Поэтому, по малой теореме Ферма, 5^30 ≡ 1 (mod 31).

Теперь давайте разложим показатель степени 72 на множители 30 * 2 + 12. То есть, 72 = 30 * 2 + 12.

Теперь мы можем записать 5^72 - 1 следующим образом:

5^72 - 1 = (5^30)^2 * 5^12 - 1.

Теперь мы можем заменить (5^30)^2 на (1)^2, используя малую теорему Ферма:

5^72 - 1 = (1)^2 * 5^12 - 1 = 5^12 - 1.

Теперь мы можем разложить показатель степени 12 на множители 6 * 2, то есть 12 = 6 * 2.

Теперь мы можем записать 5^12 - 1 следующим образом:

5^12 - 1 = (5^6)^2 - 1.

Опять же, используя малую теорему Ферма, мы можем заменить (5^6)^2 на (1)^2:

5^12 - 1 = (1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0.

Мы получили, что 5^72 - 1 = 5^12 - 1 = 0 (mod 31), что означает, что 5^72 - 1 делится на 31 без остатка.