Question

Два стрелка стреляют по своей мишени, делая независимо друг от друга по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка - 0.7 для второго - 0.5. Рассматриваются две случайные величины: x- число попаданий первого стрелка; y- число попаданий второго стрелка. Построить ряд распределения случайной величины z=x-y и найти ее математическое ожидание и дисперсию

Answer 1

Вероятность попасть первому стрелку - p1 = 0,8, а вероятность промаха: q1 = 1 - 0,8 = 0,2.

Вероятность попасть второму стрелку - p2 = 0,7, а вероятность промаха: q2 = 1 - 0,7 = 0,3.

Примем следующие гипотезы:

H1 - ни ни один из стрелков не попадёт,

H2 - оба стрелка попадут,

H3 - первый стрелок попадет, а второй промажет,

H4 - первый стрелок промажет, а второй попадет.

Вероятности гипотез:

P(H1) = q1 · q2 = 0,2 · 0,3 = 0,06;

P(H2) = p1 · p2 = 0,8 · 0,7 = 0,56;

P(H3) = p1 · q2 = 0,8 · 0,3 = 0,24;

P(H4) = q1 · p2 = 0,2 · 0,7 = 0,14;

Условные вероятности события A, при котором только одна пробоина в мишени равны:

P(A|H1) = 0;

P(A|H2) = 0;

P(A|H3) = 1;

P(A|H4) = 1;

После опыта гипотезы H1 и H2 не подтверждаются , а вероятность гипотезы H3, что попал первый стрелок определятся по формуле Байеса:

P(H3|A) = (P(H3) · P(A|H3)) / (P(H3) · P(A|H3) + (P(H4) · P(A|H4)) =

= 0,24 · 1 / (0,24 · 1 + 0,14 · 1) = 0,632.

Ответ: Вероятность того, что попал первый стрелок 0,632.

Answer 2

Давайте рассмотрим все возможные комбинации попаданий первого и второго стрелка и вычислим соответствующие значения случайной величины \( z = x - y \).

1. Первый стрелок попадает, второй стрелок попадает: \( z = 1 - 1 = 0 \) с вероятностью \( P(x=1, y=1) = 0.7 \times 0.5 = 0.35 \).

2. Первый стрелок попадает, второй стрелок не попадает: \( z = 1 - 0 = 1 \) с вероятностью \( P(x=1, y=0) = 0.7 \times 0.5 = 0.35 \).

3. Первый стрелок не попадает, второй стрелок попадает: \( z = 0 - 1 = -1 \) с вероятностью \( P(x=0, y=1) = 0.3 \times 0.5 = 0.15 \).

4. Первый стрелок не попадает, второй стрелок не попадает: \( z = 0 - 0 = 0 \) с вероятностью \( P(x=0, y=0) = 0.3 \times 0.5 = 0.15 \).

Теперь мы можем построить ряд распределения случайной величины \( z \):

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline z & -1 & 0 & 1 \\ \hline P(z) & 0.15 & 0.5 & 0.35 \\ \hline \end{array} \]

Теперь найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины \( z \).

Математическое ожидание (среднее) \( \mu_z \) вычисляется по формуле:

\[ \mu_z = \sum_{i} z_i \cdot P(z_i) \]

\[ \mu_z = (-1 \cdot 0.15) + (0 \cdot 0.5) + (1 \cdot 0.35) = 0.2 \]

Дисперсия \( \sigma_z^2 \) вычисляется по формуле:

\[ \sigma_z^2 = \sum_{i} (z_i - \mu_z)^2 \cdot P(z_i) \]

\[ \sigma_z^2 = ((-1 - 0.2)^2 \cdot 0.15) + ((0 - 0.2)^2 \cdot 0.5) + ((1 - 0.2)^2 \cdot 0.35) = 0.55 \]

Таким образом, математическое ожидание случайной величины \( z \) равно 0.2, а дисперсия равна 0.55.