Question

К, L, M, N-середини сторін AB, BC, CD, DA відповідно опуклого чотирикутника ABCD. Знайди периметр чотирикутника KLMN, якщо AC = 25 см, BD = 19 см.​

Answer 1

Ответ:

Для знаходження периметра чотирикутника KLMN, нам потрібно знайти довжини сторін цього чотирикутника.

Ми можемо використовувати властивості подібних трикутників, оскільки K, L, M, N - це середини сторін ABCD, і це утворює подібність між чотирикутниками KLMN і ABCD.

Масштаб подібності між KLMN і ABCD дорівнює 1/2, оскільки K, L, M, N - це середини сторін ABCD. Отже, довжини сторін KLMN дорівнюють половині довжин сторін ABCD.

AC = 25 см, BD = 19 см, отже, AB + CD = 25 см і BC + DA = 19 см.

AB = CD = 25 см / 2 = 12,5 см

BC = DA = 19 см / 2 = 9,5 см

Тепер ми можемо знайти периметр чотирикутника KLMN:

Периметр KLMN = KL + LM + MN + NK = AB + BC + CD + DA = 12,5 см + 9,5 см + 12,5 см + 9,5 см = 44 см.

Отже, периметр чотирикутника KLMN дорівнює 44 см.

Answer 2

Для вирішення цього завдання спочатку давайте розглянемо трикутники ABC і CDA.

За теоремою про трикутник, внутрішній кут трикутника дорівнює сумі двох зовнішніх кутів. Таким чином, кут BAC + кут CAD = кут BCD. Оскільки ABCD - опуклий чотирикутник, то кут BAC + кут CAD < 180 градусів. Тобто кут BCD - великий, і трикутник BCD опуклий.

Аналогічно, можна показати, що трикутники BCD і ADC теж опуклі.

Тепер розглянемо сторони чотирикутника KLMN. Маємо:

1. Сторона KL - це середина сторони AB, тобто KL = 0.5 * AB. 2. Сторона LM - це середина сторони BC, тобто LM = 0.5 * BC. 3. Сторона MN - це середина сторони CD, тобто MN = 0.5 * CD. 4. Сторона NK - це середина сторони DA, тобто NK = 0.5 * DA.

Тепер можна знайти периметр чотирикутника KLMN, який є сумою довжин його сторін:

\[ P(KLMN) = KL + LM + MN + NK \]

\[ P(KLMN) = 0.5 * AB + 0.5 * BC + 0.5 * CD + 0.5 * DA \]

\[ P(KLMN) = 0.5 * (AB + BC + CD + DA) \]

Але ми знаємо, що \( AC = 25 \, см \) і \( BD = 19 \, см \). За властивістю опуклих чотирикутників, сума протилежних сторін завжди більше за суму сусідніх сторін. Таким чином, ми можемо записати:

\[ AC + BD > AB + BC + CD + DA \]

\[ 25 + 19 > AB + BC + CD + DA \]

\[ 44 > AB + BC + CD + DA \]

Отже, \( AB + BC + CD + DA < 44 \).

Тепер підставимо це значення в формулу для периметра чотирикутника KLMN:

\[ P(KLMN) = 0.5 * (AB + BC + CD + DA) < 0.5 * 44 = 22 \, см \]

Отже, периметр чотирикутника KLMN менше 22 см.