Question

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b, где a=3e1+2e2, b=e1-e2; | e1 | = 10 e2 = 1, (e1^e2) = π_ ²​

Answer 1

Ответ:

Для обчислення площі паралелограма, побудованого на векторах a і b, спочатку вам потрібно знайти їх векторний добуток (векторний произведение), і це буде вектор, який буде нормалью до площі паралелограма. Він буде мати величину рівну площі паралелограма.

Спочатку знайдемо векторний добуток a і b:

a = 3e1 + 2e2

b = e1 - e2

a × b = (3e1 + 2e2) × (e1 - e2)

Для обчислення векторного добутку використовується правило векторного добутку:

(a × b)_x = a_x * b_y - a_y * b_x

(a × b)_x = (3 * 1) - (2 * 1) = 1

(a × b)_y = a_x * b_z - a_z * b_x

(a × b)_y = (3 * 0) - (2 * 1) = -2

(a × b)_z = a_x * b_y - a_y * b_x

(a × b)_z = (3 * 1) - (2 * 0) = 3

Отже, векторний добуток a і b дорівнює (1, -2, 3).

Тепер, величина цього вектора дорівнює:

|a × b| = √(1² + (-2)² + 3²) = √(1 + 4 + 9) = √14

Отже, площа паралелограма, побудованого на векторах a і b, дорівнює √14.

Answer 2

Для вычисления площади параллелограмма, построенного на векторах \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), нужно использовать векторное произведение их координат. Площадь параллелограмма можно выразить как модуль векторного произведения этих двух векторов:

\[ S = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| \]

Где \( \times \) обозначает векторное произведение. В данном случае вектора \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) заданы в виде:

\[ \mathbf{a} = 3\mathbf{e}_1 + 2\mathbf{e}_2 \]

\[ \mathbf{b} = \mathbf{e}_1 - \mathbf{e}_2 \]

где \( \mathbf{e}_1 \), \( \mathbf{e}_2 \) - единичные векторы по первой и второй координате соответственно.

Теперь вычислим векторное произведение \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} \):

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3 \\ 3 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} \]

где \( \mathbf{e}_3 \) - третий единичный вектор, ортогональный плоскости.

Рассчитываем определитель:

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = (3 \cdot 0 - 2 \cdot (-1))\mathbf{e}_1 - (3 \cdot 0 - 1 \cdot 0)\mathbf{e}_2 + (3 \cdot (-1) - 2 \cdot 1)\mathbf{e}_3 \]

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = 2\mathbf{e}_1 - \mathbf{e}_3 \]

Теперь можем вычислить модуль этого вектора:

\[ |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5} \]

Таким образом, площадь параллелограмма, построенного на векторах \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), равна \( \sqrt{5} \).