Question

Вычислительный центр, который должен производить непрерывную обработку поступающей информации, располагает двумя вычислительными устройствами. Известно, что вероятность отказа некоторое время T у каждого из них равна 0,2. Найти вероятность безотказной работы за время T: а) каждого устройства; б) хотя бы одного устройства; в) одного устройства. (Ответ: а) 0,64; б) 0,96; в) 0,32).

Answer 1

Для решения этой задачи используем понятие вероятности отказа и вероятности безотказной работы.

Пусть \( A \) и \( B \) - события отказа первого и второго устройства соответственно. Тогда вероятность безотказной работы каждого устройства равна вероятности отсутствия отказа и вычисляется как \( P(\overline{A}) = 1 - P(A) \) и \( P(\overline{B}) = 1 - P(B) \).

С учетом того, что устройства работают независимо друг от друга, вероятность безотказной работы обоих устройств равна произведению их вероятностей безотказной работы:

\[ P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) \]

Теперь рассмотрим три случая:

а) Вероятность безотказной работы каждого устройства:

\[ P(\overline{A} \cap \overline{B}) = (1 - 0.2) \cdot (1 - 0.2) = 0.8 \cdot 0.8 = 0.64 \]

б) Вероятность безотказной работы хотя бы одного устройства:

\[ P(\overline{A} \cup \overline{B}) = 1 - P(A \cap B) \]

Так как устройства работают независимо, то вероятность одновременного отказа обоих устройств равна произведению их вероятностей отказа:

\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.2 \cdot 0.2 = 0.04 \]

Тогда вероятность безотказной работы хотя бы одного устройства:

\[ P(\overline{A} \cup \overline{B}) = 1 - P(A \cap B) = 1 - 0.04 = 0.96 \]

в) Вероятность безотказной работы только одного устройства:

Так как устройства работают независимо, то вероятность отказа одного из устройств при безотказной работе другого равна:

\[ P(A \cap \overline{B}) = P(A) \cdot P(\overline{B}) = 0.2 \cdot 0.8 = 0.16 \]

Аналогично:

\[ P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) \cdot P(B) = 0.8 \cdot 0.2 = 0.16 \]

Тогда вероятность безотказной работы только одного устройства:

\[ P((A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)) = P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B) = 0.16 + 0.16 = 0.32 \]

Итак, ответы:

а) 0.64

б) 0.96

в) 0.32