Question

СРОЧНО ДАЮ 100 БАЛОВ Найти а) область определения и значения функции: z=ln(4-x²+y²) б) частные производные функции: z= sin²(x * cos²y + y * sin²x) в) частные дифференциалы функции: u= ln ((XYZ)/(x³+y³+z³))

Answer 1

Ответ на первый вопрос:

а) Область определения функции z=ln(4-x²+y²) - для функции логарифма необходимо, чтобы аргумент был положительным. То есть, (4-x²+y²)>0. Это означает, что область определения функции - это множество точек (x, y), которые лежат внутри круга радиусом 2 и центром в точке (0,0).

Значение функции z - это значение, которое принимает функция в каждой точке области определения. То есть, для каждой пары (x, y) из области определения, вычисляем значение z=ln(4-x²+y²).

Второй вопрос:

б) Частные производные функции z = sin²(x * cos²y + y * sin²x) можно вычислить следующим образом:

- Частная производная по x: dz/dx = 2sin(x * cos²y + y * sin²x) * cos(x * cos²y + y * sin²x) * (cos²y - sin²x)

- Частная производная по y: dz/dy = 2sin(x * cos²y + y * sin²x) * cos(x * cos²y + y * sin²x) * (-2x*cosy*sinx + 2y*sin²x)

Третий вопрос:

в) Частные дифференциалы функции u = ln ((XYZ)/(x³+y³+z³)) можно вычислить следующим образом:

- Частный дифференциал по x: du = (1/(XYZ)) * (Y*Z*dx + X*Z*dy + X*Y*dz) - (3x²/(x³+y³+z³)) * dx

- Частный дифференциал по y: du = (1/(XYZ)) * (Y*Z*dx + X*Z*dy + X*Y*dz) - (3y²/(x³+y³+z³)) * dy

- Частный дифференциал по z: du = (1/(XYZ)) * (Y*Z*dx + X*Z*dy + X*Y*dz) - (3z²/(x³+y³+z³)) * dz

Answer 2

Давайте разберемся с каждым из пунктов.

a) Область определения и значения функции:

Функция \(z = \ln(4 - x^2 + y^2)\) содержит логарифм, и логарифм определен только для положительных аргументов. Поэтому выражение \(4 - x^2 + y^2\) должно быть больше нуля:

\[4 - x^2 + y^2 > 0\]

Отсюда можно выразить область определения:

\[x^2 + y^2 < 4\]

Это означает, что функция определена внутри круга радиуса 2 с центром в начале координат. Значения функции \(z\) будут реальными числами для всех точек внутри этого круга.

b) Частные производные функции:

Функция \(z = \sin^2(x + \cos^2y) + y \sin^2x\) содержит три переменные \(x\), \(y\), и \(\sin^2\), \(\cos^2\), их комбинации. Давайте найдем частные производные:

\[\frac{\partial z}{\partial x} = 2\sin(x + \cos^2y)\cos(x + \cos^2y) + 2y\cos^2x\sinx\]

\[\frac{\partial z}{\partial y} = -2y\sin x\cos x \sin^2x - 2\sin y \cos y \sin(x + \cos^2y)\]

c) Частные дифференциалы функции:

Функция \(u = \ln\left(\frac{XYZ}{x^3 + y^3 + z^3}\right)\) содержит логарифм и дробь. Найдем частные дифференциалы:

\[du = \frac{1}{\frac{XYZ}{x^3 + y^3 + z^3}} \left( d\left(\frac{XYZ}{x^3 + y^3 + z^3}\right) \right)\]

Применим правило дифференцирования частного:

\[du = \frac{x^3 + y^3 + z^3}{XYZ} \left( d(XYZ) - d(x^3 + y^3 + z^3) \right)\]

Далее, мы можем выразить \(d(XYZ)\) и \(d(x^3 + y^3 + z^3)\) через соответствующие дифференциалы переменных.

Данный процесс может быть сложным и требует времени. Если у вас есть конкретные значения переменных, я могу помочь вам вычислить конкретные результаты.