Question

Помогите решить задачи, хотя бы одну. 1. Найти полный дифференциал функции: z=arcsin(x+y) 2. Найти частные производные и частные дифференциалы функции: z=ln(3x^2-y^4)

Answer 1

1) полный дифференциал 
$dz=z'_xdx+z'_ydy$
$z'_x= \frac{1}{ \sqrt{1-(x+y)^2} }$
$z'_y= \frac{1}{ \sqrt{1-(x+y)^2} }$
$dz=\frac{dx}{ \sqrt{1-(x+y)^2} }+\frac{dy}{ \sqrt{1-(x+y)^2} }$

2) 
$z'_x= \frac{6x}{3x^2-y^4}$
$z'_y=-\frac{4y^3}{3x^2-y^4}$

$d_xz= \frac{6x}{3x^2-y^4}dx$
$d_yz=-\frac{4y^3}{3x^2-y^4} dy$

Answer 2

1. Найдём частные производные функции z=arcsin(x+y):

$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{\sqrt{1-(x+y)^2}}$$

$$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{\sqrt{1-(x+y)^2}}$$

Теперь найдём полный дифференциал:

$$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy = \frac{1}{\sqrt{1-(x+y)^2}} dx + \frac{1}{\sqrt{1-(x+y)^2}} dy$$

Итого, полный дифференциал функции z=arcsin(x+y) равен:

$$dz = \frac{1}{\sqrt{1-(x+y)^2}} dx + \frac{1}{\sqrt{1-(x+y)^2}} dy$$

2. Найдём частные производные функции z=ln(3x^2-y^4):

$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{6x}{3x^2-y^4}$$

$$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{4y^3}{3x^2-y^4}$$

Теперь найдём частные дифференциалы:

$$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy = \frac{6x}{3x^2-y^4} dx - \frac{4y^3}{3x^2-y^4} dy$$

Итого, частные дифференциалы функции z=ln(3x^2-y^4) равны:

$$dz = \frac{6x}{3x^2-y^4} dx - \frac{4y^3}{3x^2-y^4} dy$$