Question

Точка D не належить площині АВС, точки М, N, P і Q - середини відрізків BD, CD, AB і АС відповідно. AD = 16 см, ВС = 18 см. Довести, що MNQP - паралелограм і знайти його периметр. З малюнком

Answer 1

Для доведення, що MNQP - паралелограм, нам спочатку потрібно довести, що протилежні сторони паралельні. Для цього використаємо теорему про серединні перпендикуляри.

Маємо AB = AC, оскільки ВС = 18 см і AD = 16 см.

Знаємо, що MN і PQ - це серединні перпендикуляри до BD і CD відповідно. Таким чином, MN і PQ паралельні один одному і перпендикулярні до BD і CD.

Оскільки BD і CD - це прямі, а MN і PQ - їхні серединні перпендикуляри, то MN і PQ паралельні одна одній.

Тепер, коли ми довели, що MNQP - паралелограм, ми можемо знайти його периметр.

Периметр паралелограма дорівнює сумі довжини всіх його сторін.

MN = BD / 2, оскільки MN - серединний перпендикуляр до BD.

PQ = CD / 2, оскільки PQ - серединний перпендикуляр до CD.

AB = AC, оскільки вони рівні.

AD = 16 см, як вказано в умові.

Отже, периметр MNQP = 2 * (MN + PQ) + 2 * AB = 2 * (BD / 2 + CD / 2) + 2 * AC = BD + CD + 2 * AC = 16 см + 18 см + 2 * 16 см = 66 см.

Отже, периметр MNQP дорівнює 66 см.

Answer 2

Для того чтобы доказать, что mnqp - параллелограмм, нужно показать, что его противоположные стороны параллельны и равны.

По условию задачи, точка d не принадлежит плоскости АВС, значит отрезки bd, ab, cd, и ac лежат в одной плоскости.

Так как точки М и n являются серединами отрезков bd и cd соответственно, то они делят эти отрезки на две равные части, то есть bd = 2*Md и cd = 2*nd. Аналогично, точки p и q являются серединами отрезков ab и ac, поэтому ab = 2*ap и ac = 2*aq.

Также по условию задачи, ad = 16 см и ВС = 18 см.

Точка d является серединой отрезка ac, поэтому ad = 2*ad. Таким образом, ad = 16 см, а ad = ac/2 = 9 см.

Из найденного значения ad получаем значение ac = 2*ad = 18 см.

Так как ac и cd равны по длине и параллельны, а также ab и bd равны по длине и параллельны, то mnqp - параллелограмм.

Чтобы найти периметр мнрр, нужно просуммировать длины его сторон. Длина стороны mn равна cd = 2*nd, длина стороны мр равна ac = 2*aq, длина стороны рк равна bd = 2*Md, и длина стороны рн равна ab = 2*ap.

Таким образом, периметр мнрр равен cd + ac + bd + ab = 2*nd + 2*aq + 2*Md + 2*ap = 2*(nd + aq + Md + ap).

Так как nd, aq, Md и ap являются серединами отрезков, то их суммы равны половине суммы длин соответствующих отрезков. То есть nd + aq + Md + ap = cd/2 + ac/2 + bd/2 + ab/2 = (cd + ac + bd + ab)/2 = (18 + 18 + 16 + 16)/2 = 34.

Итак, периметр мнрр равен 2*34 = 68 см.