Question

Розвязати ЛДР методом Бернуллі Решить ЛДР методом Бернулли Помогите пожалуйста нужно завтра сдать )) y' - y ctg x = cos x / sin^2 x

Answer 1

Для решения линейного дифференциального уравнения методом Бернулли, представим его в виде:

dy/dx - y * ctg(x) = cos(x) / sin^2(x)

Заметим, что уравнение уже имеет вид Бернулли, где p(x) = -ctg(x), q(x) = cos(x) / sin^2(x), и n = 1.

Теперь воспользуемся методом Бернулли. Умножим обе стороны уравнения на интегрирующий множитель μ(x), который выбирается таким образом, чтобы уравнение стало линейным:

μ(x) * (dy/dx) - μ(x) * y * ctg(x) = μ(x) * cos(x) / sin^2(x)

Выберем μ(x) = sin^2(x), тогда:

sin^2(x) * (dy/dx) - y * sin^2(x) * ctg(x) = cos(x)

Теперь введем подстановку для упрощения уравнения. Пусть z(x) = y * sin^2(x), тогда:

dy/dx = (1/sin^2(x)) * dz/dx

Подставим это в уравнение:

(1/sin^2(x)) * dz/dx - z * ctg(x) = cos(x)

Теперь это линейное обыкновенное дифференциальное уравнение относительно z(x). Решим его:

dz/dx - z * ctg(x) * sin^2(x) = cos(x) * sin^2(x)

Теперь мы можем воспользоваться методом интегрирующего множителя. Интегрирующий множитель μ(x) выбирается таким образом, чтобы уравнение стало точным. В данном случае:

μ(x) = e^(∫(-ctg(x) * sin^2(x) dx)) = e^(-∫ctg(x) * sin^2(x) dx)

Интеграл в правой части нужно решить, а затем умножить его на обе части уравнения. Это может потребовать интеграла по частям.

После этого вы получите точное дифференциальное уравнение, которое можно решить и найти z(x). Затем, используя z(x), вы сможете найти y(x), так как y(x) = z(x) / sin^2(x).

Answer 2

Для решения линейного дифференциального уравнения (ЛДУ) методом Бернулли, нужно привести его к стандартному виду и затем использовать замену переменной. Уравнение, которое вы предоставили, выглядит как:

\[y' - y \cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}\]

Чтобы привести его к стандартному виду Бернулли, давайте поделим обе стороны на \(\sin^2(x)\):

\[\frac{1}{\sin^2(x)}y' - \frac{1}{\sin(x)}y = \cot(x)\]

Теперь сделаем замену переменной: \(z = \frac{1}{\sin(x)}\). Тогда \(z' = -\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}\). Подставим это в уравнение:

\[-z'y - z = \cot(x)\]

Теперь у нас есть линейное дифференциальное уравнение относительно \(z\). Решим его, а затем восстановим \(y\) с использованием обратной замены. После решения \(z\), обратная замена будет \(y = \frac{1}{z \sin(x)}\).

Давайте решим уравнение для \(z\):

\[z' = -\cot(x)z - 1\]

Это линейное неоднородное уравнение первого порядка. Мы можем использовать метод интегрирующего множителя для решения его. Подбирая множитель \(μ(x)\) так, чтобы уравнение было точным, мы получаем:

\[μ(x)z' + μ(x)\cot(x)z = -μ(x)\]

В данном случае \(μ(x) = \sin(x)\). Умножим уравнение на \(\sin(x)\):

\[\sin(x)z' + \cos(x)z = -\sin(x)\]

Теперь левая часть - это производная от \(\sin(x)z\). Интегрируем обе стороны:

\[\int (\sin(x)z' + \cos(x)z) \,dx = \int -\sin(x) \,dx\]

\[\sin(x)z = \cos(x) + C\]

Теперь решим относительно \(z\):

\[z = \frac{\cos(x) + C}{\sin(x)}\]

Теперь используем обратную замену \(y = \frac{1}{z \sin(x)}\):

\[y = \frac{1}{\frac{\cos(x) + C}{\sin(x)} \sin(x)}\]

\[y = \frac{1}{\cos(x) + C}\]

Таким образом, решение исходного линейного дифференциального уравнения методом Бернулли:

\[y = \frac{1}{\cos(x) + C}\]