Question

Найдите количество членов арифметической прогрессии a1; a2; a3; ...; a3n, если a3 + a6 + a9 + ... + a3n = 736 и a2n+1 + an+2 = 23

Answer 1

Ответ:192

Пошаговое объяснение:

Пусть $d$ - разность прогрессии

$a_{2n+1}=a_1+2nd\\a_{n+2}=a_1+(n+1)d\\a_{2n+1}+a_{n+2}=2a_1+3nd+d=23\\\\a_3+a_6+\ldots+a_{3n}=\dfrac{a_3+a_{3n}}{2}\cdot n=\dfrac{a_1+2d+a_1+(3n-1)d}{2}\cdot n=\dfrac{2a_1+3nd+d}{2}\cdot n=\dfrac{23}{2}n=736 \Leftrightarrow n=64 \Leftrightarrow 3n=192$

Answer 2

Для нахождения количества членов арифметической прогрессии, определенной последовательностью a1, a2, a3, ..., a3n, нам необходимо знать формулу общего члена арифметической прогрессии (an) и некоторые из её свойств.

Формула общего члена арифметической прогрессии имеет вид: an = a1 + (n - 1) * d,

где an - n-й член прогрессии, a1 - первый член прогрессии, d - разность между последовательными членами прогрессии, n - порядковый номер члена прогрессии.

Также, нам даны следующие равенства: 1. a3 + a6 + a9 + ... + a3n = 736, 2. a2n + 1 = an + 2 = 23.

Давайте разберемся с этими данными поочередно.

1. Рассмотрим сумму a3 + a6 + a9 + ... + a3n. В этой сумме, каждый член прогрессии a3k (где k - натуральное число) встречается один раз. Таким образом, сумма может быть переписана следующим образом: a3 + a6 + a9 + ... + a3n = a3 * (1 + 2 + 3 + ... + n).

Здесь 1 + 2 + 3 + ... + n представляет собой сумму арифметической прогрессии с первым членом 1 и разностью 1. Формула для суммы такой прогрессии: 1 + 2 + 3 + ... + n = (n * (n + 1)) / 2.

Таким образом, a3 + a6 + a9 + ... + a3n = a3 * (n * (n + 1)) / 2.

2. Дано, что a2n + 1 = an + 2 = 23.

Теперь мы можем использовать оба уравнения и внести их в наше первое равенство. Подставим значения a2n и an из уравнения 2:

a3 + a6 + a9 + ... + a3n = a3 * (n * (n + 1)) / 2 = 736, a2n + 1 = an + 2 = 23.

Теперь решим уравнение для a3, умножив оба уравнения на 2:

a3 * (n * (n + 1)) = 736 * 2, a3 * (n * (n + 1)) = 1472.

Теперь мы знаем a3 и можем найти значение n:

n * (n + 1) = 1472 / a3.

Так как n - натуральное число, то мы можем попробовать различные значения n и вычислить n * (n + 1). Если полученное значение равно 1472 / a3, то это подходящее значение n.

Пусть a3 = 1. Тогда:

n * (n + 1) = 1472 / 1 = 1472.

Теперь найдем такое натуральное n, при котором n * (n + 1) = 1472. Мы видим, что n = 32 является таким значением:

32 * (32 + 1) = 32 * 33 = 1056.

Таким образом, a3 = 1 и n = 32 - это одно из возможных решений.

Теперь мы знаем, что a3 = 1 и n = 32. Мы можем найти первый член a1 и разность d, используя второе уравнение:

a2n + 1 = 23, a2 * 32 + 1 = 23, a64 + 1 = 23, a64 = 23 - 1, a64 = 22.

Теперь мы можем использовать формулу общего члена арифметической прогрессии для нахождения a1:

a64 = a1 + (64 - 1) * d, 22 = a1 + 63d.

Теперь подставим значение a64 в уравнение:

22 = a1 + 63d.

Теперь у нас есть два уравнения:

1. n * (n + 1) = 1472, 2. 22 = a1 + 63d.

Мы можем решить эти два уравнения, чтобы найти a1 и d, а затем определить количество членов в прогрессии.