Question

Найдите уравнения касательных к окружности x^2+y^2-2y=9, проходящих через точку М(7, 2). Можно пожалуйста с подробным решением

Answer 1

Ответ:

/////////////////////////////////////////////

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Приведу редко используемый в этой ситуации способ в надежде. что кто-нибудь другой даст и  один из стандартных способов. $MN=\sqrt{(7-0)^2+(2-1)^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}.$

Пусть K - точка касания одной из двух касательных с окружностью. Тогда KN=\sqrt{10} - ведь уравнение окружности x²+(y-1)^2=10,  центр у нее в точке N(0;1), а радиус равен корню из 10.

Далее, поскольку касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, угол MKN прямой, KM²=50-10=40,  а тангенс угла KMN равен $\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{10}}=\frac{1}{2}.$

Поэтому. чтобы получить касательную, нужно прямую MN с угловым коэффициентом (то есть тангенсом угла наклона)  1/7 повернуть вокруг точки M на угол  arctg(1/2) в ту или другую сторону. Поскольку

$tg(\alpha\pm\beta)=\frac{tg\alpha\pm tg \beta}{1\mp tg\alpha\cdot tg \beta},$ получаем угловые коэффициенты

$k_1=\frac{\frac{1}{7}+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{7}\cdot \frac{1}{2}}=\frac{9}{13};\ k_2=\frac{\frac{1}{7}-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{7}\cdot \frac{1}{2}}=-\frac{5}{15}=-\frac{1}{3}.$  

 Поэтому уравнения касательных -

$y-2=\frac{9}{13}(x-7);\ 9x-13y-37=0$ и

$y-2=-\frac {1}{3}(x-7);\ x+3y-13=0.$

Answer 3

Чтобы найти уравнения касательных к окружности, проходящих через точку M(7, 2), нам понадобится использовать некоторые свойства геометрии окружности и дифференциального исчисления.

Шаг 1: Найдите координаты центра окружности и радиус Дано уравнение окружности: x^2 + y^2 - 2y = 9. Перенесем -9 на левую сторону уравнения, чтобы получить его в канонической форме: x^2 + (y^2 - 2y) - 9 = 0. Завершим квадрат для y, добавив и вычитая 1 внутри скобок: x^2 + (y^2 - 2y + 1) - 9 - 1 = 0. x^2 + (y - 1)^2 - 10 = 0.

Теперь у нас есть уравнение окружности в канонической форме: x^2 + (y - 1)^2 = 10. Из этого уравнения мы можем определить координаты центра окружности и радиус: Центр окружности: (0, 1). Радиус окружности: √10.

Шаг 2: Найдите уравнения касательных Чтобы найти уравнения касательных к окружности, проходящих через точку M(7, 2), мы воспользуемся свойством касательной к окружности: касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Для этого найдем уравнения радиусов, проведенных из центра окружности в точку M(7, 2): 1) Радиус 1: M(7, 2) - Центр(0, 1) = (7 - 0, 2 - 1) = (7, 1). 2) Радиус 2: M(7, 2) - Центр(0, 1) = (7 - 0, 2 - 1) = (7, 1).

Теперь у нас есть два радиуса, и мы знаем, что уравнения касательных к окружности будут перпендикулярны этим радиусам. Чтобы найти уравнения касательных, нам нужно найти уравнения прямых, проходящих через точки (7, 2) и параллельных радиусам.

Уравнение касательной 1: Уравнение радиуса 1: y - y1 = m(x - x1), где (x1, y1) - координаты точки на радиусе, m - наклон радиуса.

У нас есть две точки на радиусе 1: М(7, 2) и Центр(0, 1). Наклон радиуса 1: m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (2 - 1) / (7 - 0) = 1/7.

Подставим значения в уравнение радиуса: y - 2 = (1/7)(x - 7). Перенесем y на левую сторону: y - (1/7)(x - 7) - 2 = 0.

Уравнение касательной 2: Уравнение радиуса 2: y - y1 = m(x - x1), где (x1, y1) - координаты точки на радиусе, m - наклон радиуса.

У нас есть две точки на радиусе 2: М(7, 2) и Центр(0, 1). Наклон радиуса 2: m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (2 - 1) / (7 - 0) = 1/7.

Подставим значения в уравнение радиуса: y - 2 = (1/7)(x - 7). Перенесем y на левую сторону: y - (1/7)(x - 7) - 2 = 0.

Таким образом, уравнения касательных к окружности x^2 + y^2 - 2y = 9, проходящих через точку М(7, 2), будут: 1) y - (1/7)(x - 7) - 2 = 0. 2) y - (1/7)(x - 7) - 2 = 0.

Надеюсь, это помогло! Если у вас возникли дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.