Question

(x^2 - 6*x -8*a+ a^2)/(x^2-a+36-12*x)=0 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет ровно два различных корня.

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$\dfrac{x^2-6x-8a+a^2}{x^2-a+36-12x}=0$

Преобразуем дробь:

$\dfrac{(x-3)^2+(a-4)^2-25}{x^2-12x+36-a}=0$

Дробь равна нулю, когда числитель равен 0, а знаменатель нет:

$\left\{\begin{array}{c}(x-3)^2+(a-4)^2-25=0\\x^2-12x+36-a\ne0\end{array}\right;$

Тогда получим:

$\left\{\begin{array}{c}(x-3)^2+(a-4)^2=25\\a\ne x^2-12x+36\end{array}\right;$

В координатах (x; a) первая строка системы представляет из себя окружности с центром в точке (3; 4) и радиусом 5; вторая строка системы будет параболой.

Выполним построение графиков:

(см. прикрепленный файл)

Определим в каких точках парабола пересекает окружность:

$\left\{\begin{array}{c}(x-3)^2+(a-4)^2=25\\a= x^2-12x+36\end{array}\right,\;\Leftrightarrow\;\left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}x=3\\a=9\end{array}\right\\\left\{\begin{array}{c}x=6\\a=0\end{array}\right\\\left\{\begin{array}{c}x=7\\a=1\end{array}\right\\\left\{\begin{array}{c}x=8\\a=4\end{array}\right\end{array}\right;$

Значит при $a\in(-1;\;0)\cup(0;\;1)\cup(1;\;4)\cup(4;\;9)$ исходное уравнение имеет ровно два различных корня.

Задание выполнено!

Answer 2

Для нахождения всех значений параметра "a", при которых уравнение

\(\frac{x^2 - 6x - 8a + a^2}{x^2 - a + 36 - 12x} = 0\)

имеет ровно два различных корня, мы можем использовать метод анализа дискриминанта. Дискриминант уравнения квадратного типа \(ax^2 + bx + c = 0\) равен \(D = b^2 - 4ac\), и он определяет, сколько корней имеет уравнение.

В данном случае, у нас есть дробь, и мы хотим, чтобы числитель и знаменатель дроби были равны нулю. Таким образом, мы можем записать два уравнения:

1. Числитель равен нулю: \(x^2 - 6x - 8a + a^2 = 0\)

2. Знаменатель равен нулю: \(x^2 - a + 36 - 12x = 0\)

Для первого уравнения мы можем использовать дискриминант, чтобы найти, при каких значениях "a" у него будет два различных корня:

Для уравнения \(x^2 - 6x - 8a + a^2 = 0\), коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\) равны соответственно 1, -6 и \(a^2 - 8a\). Дискриминант этого уравнения будет:

\(D_1 = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 8a) = 36 - 4(a^2 - 8a) = 36 - 4a^2 + 32a\)

Для того чтобы уравнение имело два различных корня, дискриминант должен быть положительным (\(D_1 > 0\)). Таким образом, у нас есть неравенство:

\(36 - 4a^2 + 32a > 0\)

Теперь мы можем решить это неравенство. Сначала преобразуем его:

\(4a^2 - 32a + 36 < 0\)

Теперь разделим все коэффициенты на 4:

\(a^2 - 8a + 9 < 0\)

Далее, факторизуем левую сторону неравенства:

\((a - 3)(a - 6) < 0\)

Теперь определим знак выражения на левой стороне неравенства, используя метод интервалов. Рассмотрим три интервала:

1. \(a < 3\) 2. \(3 < a < 6\) 3. \(a > 6\)

Для интервала 1: Если \(a < 3\), то оба множителя \((a - 3)\) и \((a - 6)\) отрицательны, что делает выражение положительным.

Для интервала 2: Если \(3 < a < 6\), то \((a - 3)\) положительный, а \((a - 6)\) отрицательный, что делает выражение отрицательным.

Для интервала 3: Если \(a > 6\), то оба множителя \((a - 3)\) и \((a - 6)\) положительны, что делает выражение положительным.

Таким образом, уравнение \(a^2 - 8a + 9 < 0\) имеет решение только в интервале \(3 < a < 6\).

Теперь перейдем ко второму уравнению \(x^2 - a + 36 - 12x = 0\). Мы также можем использовать дискриминант:

Для уравнения \(x^2 - a + 36 - 12x = 0\), коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\) равны соответственно 1, -12 и \(-a + 36\). Дискриминант этого уравнения будет:

\(D_2 = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a + 36) = 144 + 4a - 144 = 4a\)

Чтобы уравнение имело два различных корня, дискриминант должен быть положительным (\(D_2 > 0\)). Таким образом, у нас есть неравенство:

\(4a > 0\)

Это неравенство верно для любого значения "a", кроме \(a = 0\), так как дискриминант не может быть равен нулю. Таким образом, второе уравнение имеет два различных корня при всех значениях "a", кроме \(a = 0\).

Таким образом, уравнение

\(\frac{x^2 - 6x - 8a + a^2}{x^2 - a + 36 - 12x} = 0\)

имеет ровно два различных корня при \(3 < a < 6\) и при всех значениях "a", кроме \(a = 0\).