Question

Помогите исследовать несобственные интегралы на сходимость, пример: . Вместо а - ∞. Ответ: сходится

Answer 1

Ответ:

Сходится

Пошаговое объяснение:

$\int\limits_1^\infty \dfrac{sinx}{x^3}dx$

Особая точка $x=+\infty$.

Подынтегральная функция представима в виде $f(x)g(x)$, где $f(x)=sinx,g(x)=\dfrac{1}{x^3}$.

1) $f(x)$ непрерывна на $[1;+\infty)$.

2) $\left|\int\limits_1^A sinxdx\right|=\left|-cosx\right|\limits_1^A=\left|cos1-cosA\right|\leq |cos1|+|cosA|< 2 \;\;\forall A\geq 1$

3) $g'(x)=-\dfrac{3}{x^4}$ непрерывна на $[1;+\infty)$. При этом $g'(x)$, а значит $g(x)$ монотонно убывает.

4) $\lim\limits_{x\to\infty}g(x)=0$

Значит, интеграл сходится по признаку Дирихле.

Answer 2

Для исследования сходимости несобственного интеграла, в данном случае сходит он или расходится, нужно использовать определение сходимости несобственного интеграла с конечным пределом: Если предел интеграла прибавляется, то он исследуется в виде предела вида:

∫(от а до b) f(x) dx = lim(при b->∞)∫(от а до b) f(x) dx.

В данном примере у нас дан несобственный интеграл с пределом по нижнему пределу, а не по верхнему. Но это не проблема, можно сделать замену переменной:

∫(от а до -∞) f(x) dx = ∫(от -∞ до а) f(-x) dx.

Теперь можно провести исследование:

1. Выясним, сходится ли интеграл в области сходимости, т.е. при x -> -∞: a. Исследуем поведение функции f(x) при x -> -∞. Если f(x) стремится к нулю, то есть и интеграл сходится. Если f(x) не стремится к нулю, интеграл расходится. b. Оценим поведение интеграла при x -> -∞. Если интеграл ограничен, то он сходится. Если интеграл расходится, то он не сходится.

Таким образом, чтобы показать, что данный несобственный интеграл сходится, нужно показать, что функция f(x) стремится к нулю при x -> -∞, и интеграл ограничен при x -> -∞.

Надеюсь, это поможет вам понять, как исследовать сходимость несобственных интегралов. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!