Question

Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд: . Варианты ответов: 1) сходится 2) расходится 3) сходится абсолютно 4) сходится условно 5) сходится на интервале (-3;3)

Answer 1

Привет!

Для исследования на абсолютную сходимость ряда Рассмотрим ряд |(sin(nx))/x^3| = (|sin(nx)|)/x^3. Заметим, что |sin(nx)| <= 1 для любого n и любого x, поэтому (|sin(nx)|)/x^3 <= 1/x^3. Ряд ∑1/x^3 сходится абсолютно (это p-ряд с p=3>1), поэтому по признаку сравнения ряд ∑(sin(nx))/x^3 сходится.

Для исследования на условную сходимость ряда заметим, что sin(nx) меняет знаки при переходе через каждый π/n, то есть на интервалах [(k-1)π/n;kπ/n] для k=1,2,...,n. На каждом таком интервале sin(nx) сохраняет знак, поэтому можно считать, что все члены ряда имеют одинаковый знак. Проверим условия признака Лейбница:

- |(sin(nx))/x^3| убывает по n (для фиксированного x) и стремится к нулю при n→∞;

- ряд |(sin(nx))/x^3| сходится (это мы уже доказали выше).

Поэтому ряд ∑(sin(nx))/x^3 сходится условно по признаку Лейбница.

Чтобы определить, на каких интервалах он сходится абсолютно, воспользуемся признаком Абеля: если последовательность {a_n} монотонна и ограничена, а последовательность {b_n} удовлетворяет условиям:

1) {b_n} монотонна в большую или меньшую сторону;

2) ряд от {b_n} сходится;

то ряд от a_n*b_n сходится абсолютно.

Для нашего случая последовательность {a_n} уже найдена, а последовательность {b_n} = sin(nx) не удовлетворяет условиям признака Абеля, так как она не является монотонной и не сходится (кроме случая n=0). Следовательно, ряд сходится условно на всей числовой прямой, но не сходится абсолютно ни на каком интервале.

Ответ: 4).

Answer 2

Для исследования на абсолютную и условную сходимость ряда, давайте рассмотрим ряд:

∑(n=1 до ∞) ((-1)^(n+1)) / n

Этот ряд представляет собой альтернирующий ряд, где каждый член чередуется знаками плюс и минус. Для начала, давайте исследуем абсолютную сходимость ряда. Для этого мы рассмотрим ряд, состоящий из модулей членов данного ряда:

∑(n=1 до ∞) (1/n)

Этот ряд представляет собой гармонический ряд, который известно расходится. Это следует из интегрального признака сходимости, так как ∫(1/x)dx от 1 до ∞ тоже расходится. Таким образом, гармонический ряд расходится, и, следовательно, исходный ряд также расходится.

Следовательно, данный ряд расходится (вариант ответа 2).