Question

Задания для практической работы. Вариант 1Вычислите площади фигур, ограниченных указанными линиями:1. x-y+2=0, y = 0, x= -1 и х= 2;2. x-y+3= 0, x+y-1=0 и y= 0;​

Answer 1

Ответ: 1. 7,5, 2. 4

Пошаговое объяснение:

1. у=х+2

у=0

х=-1

х=2

Если построить графики этих функций, получим прямоугольную трапецию АВСД, с основаниями АД=1, ВС=4 и боковой стороной АВ=3, лежащей на ОХ.

Площадь прямоугольной трапеции равна полусумме оснований умножить на боковую перпендикулярную сторону=((ВС+АД)/2)*АВ=5*3/2=7,5

2. у=х+3

у=1-х

у=0

Построив, получим треугольник равнобедренный, лежащий на ОХ. Площадь его будет равна половине произведения основания на высоту. Высоту легко узнать, найдя точку пересечения двух первых графиков =2. тогда площадь =4*2/2=4

Answer 2

Давайте начнем с вычисления площадей фигур, ограниченных указанными линиями.

1. x - y + 2 = 0, y = 0, x = -1 и x = 2:

Давайте начнем с построения графиков этих линий на координатной плоскости:

- Уравнение \(x - y + 2 = 0\) можно переписать в виде \(y = x + 2\). Это прямая линия с наклоном 1 и пересечением с осью y в точке (0,2).

- y = 0 - это прямая линия, параллельная оси x и проходящая через начало координат.

- x = -1 и x = 2 - это вертикальные линии параллельные оси y в точках x = -1 и x = 2 соответственно.

Первая фигура ограничена следующим образом: - Слева: x = -1 - Справа: x = 2 - Сверху: y = 0 - Снизу: y = x + 2

Теперь, чтобы найти площадь этой фигуры, необходимо вычислить площадь между кривыми. Для этого нужно найти площадь между кривыми \(y = x + 2\) и \(y = 0\) в пределах от x = -1 до x = 2.

Интегрируем \(y = x + 2\) и \(y = 0\) от x = -1 до x = 2: \[\int_{-1}^{2} (x + 2 - 0) \,dx\] \[\int_{-1}^{2} (x + 2) \,dx\] \[= \left[\frac{x^2}{2} + 2x\right]_{-1}^{2}\] \[= \left[(\frac{2^2}{2} + 2*2) - (\frac{(-1)^2}{2} + 2*(-1))\right]\] \[= (2 + 4) - (\frac{1}{2} - 2)\] \[= 6 - \frac{1}{2}\] \[= \frac{11}{2}\]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной указанными линиями, равна \( \frac{11}{2} \).

2. x - y + 3 = 0, x + y - 1 = 0 и y = 0:

Теперь давайте рассмотрим второй набор линий:

- Уравнение \(x - y + 3 = 0\) можно переписать как \(y = x + 3\). Это прямая линия с наклоном 1 и пересечением с осью y в точке (0,3).

- \(x + y - 1 = 0\) это прямая линия, которая также имеет пересечение с осью y в точке (0,-1) и пересечение с осью x в точке (1,0).

- y = 0 это горизонтальная прямая, проходящая через начало координат.

Фигура ограничена следующим образом: - Сверху: y = 0 - Снизу: y = x + 3 - Слева: x + y - 1 = 0 - Справа: нет ограничений, следовательно, будет использоваться точка пересечения x-y плоскостей

Мы можем найти точку пересечения прямых \(x - y + 3 = 0\) и \(x + y - 1 = 0\) путем их пересечения. Решив эти уравнения, получим x = 2 и y = 5.

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, нужно вычислить площадь между кривыми \(y = x + 3\) и \(y = 0\) в пределах от x = 1 до x = 2 и добавить площадь треугольника с вершинами в точках (1, 0), (2, 5) и (2, 0).

Интегрируем \(y = x + 3\) и \(y = 0\) от x = 1 до x = 2: \[\int_{1}^{2} (x + 3 - 0) \,dx\] \[\int_{1}^{2} (x + 3) \,dx\] \[= \left[\frac{x^2}{2} + 3x\right]_{1}^{2}\] \[= \left[(\frac{2^2}{2} + 3*2) - (\frac{1^2}{2} + 3*1)\right]\] \[= (4 + 6) - (\frac{1}{2} + 3)\] \[= 10 - \frac{7}{2}\] \[= \frac{13}{2}\]

Теперь найдем площадь треугольника. Его площадь равна \( \frac{1}{2} * \text{основание} * \text{высота} \). Основание = 2 - 1 = 1, высота = 5 - 0 = 5.

Площадь треугольника: \( \frac{1}{2} * 1 * 5 = \frac{5}{2} \)

Таким образом, общая площадь фигуры, ограниченной указанными линиями, равна \( \frac{13}{2} + \frac{5}{2} = 9 \).

Надеюсь, это поможет вам вычислить площади указанных фигур.