Question

Помогите решить уравнение. Задание Найти общее решение дифференциального уравнения 2у''+5у'-7у=0

Answer 1

Ответ:

$2y'' + 5y' - 7y = 0 \\ \\ y = {e}^{kx} \\ \\ {e}^{kx} (2 k {}^{2} + 5k - 7) = 0\\ D = 25 + 56 = 81\\ k_1 = \frac{ - 5 + 9}{4} = 1 \\ k_2 = - \frac{14}{4} = - \frac{7}{2} = - 3.5 \\ \\ y = C_1 {e}^{x} + C_2 {e}^{ - 3.5x}$

общее решение

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения второго порядка вида 2u'' + 5u' - 7u = 0, можно использовать метод разделения переменных.

1. Преобразуем исходное уравнение, разделив все члены на 2:

u'' + 2.5u' - 3.5u = 0

2. Заметим, что это уравнение имеет вид, аналогичный уравнению для экспоненциальной функции. То есть, его решения будут иметь вид:

u = Ce^rx

где C - константа, а r - корень характеристического уравнения.

3. Для определения r, решим характеристическое уравнение:

r^2 + 2.5r - 3.5 = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы квадратного корня:

r = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a)

где a = 1, b = 2.5, c = -3.5. Подставляя эти значения в формулу, получим значения r.

4. После того, как найдены значения r, подставляем их в формулу u = Ce^rx, чтобы получить общее решение дифференциального уравнения.

5. В общем решении u будет два ветвления (два решения, которые получаются при выборе знаков плюс и минус в формуле для r), что соответствует двум частным решениям исходного дифференциального уравнения.

Пожалуйста, обратите внимание, что это общий подход к решению дифференциальных уравнений второго порядка. Конкретные шаги могут немного отличаться в зависимости от конкретного дифференциального уравнения.