Question

После строительства дома осталось некоторое количество плиток. Их можно использовать для выкладывания прямоугольной площадки на участке рядом с домом. Если укладывать в ряд по 13 плиток, то для квадратной площадки плиток не хватит. При укладывании по 11 плиток в ряд остаётся один неполный ряд, а при укладывании по 12 плиток тоже остаётся неполный ряд, в котором на 9 плит(-ок, -и) меньше, чем в неполном ряду при укладывании по 11. Сколько плиток осталось после строительства дома? Ответ: плит(-а, -ок).

Answer 1

Ответ:

в котором на 9 плиток меньше и т.д

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу шаг за шагом. Пусть \( x \) - это количество плиток, которые были изначально.

Когда плитки укладываются по 13 в ряд, они не хватает на квадратную площадку, что означает, что \( x \) не делится на 13 нацело. Поэтому у нас есть уравнение:

\[ x \equiv a \pmod{13}, \]

где \( a \) - остаток от деления \( x \) на 13.

Когда плитки укладываются по 11 в ряд, остается один неполный ряд. Таким образом, у нас есть уравнение:

\[ x \equiv 1 \pmod{11}. \]

И когда плитки укладываются по 12 в ряд, тоже остается неполный ряд, но в нем на 9 плиток меньше, чем в неполном ряду при укладывании по 11. Таким образом, у нас есть уравнение:

\[ x \equiv 9 \pmod{12}. \]

Теперь мы можем воспользоваться Китайской теоремой об остатках, чтобы найти значение \( x \).

Решим это уравнение методом Китайской теоремы об остатках. Сначала найдем \( M \), которое является произведением модулей (13, 11 и 12):

\[ M = 13 \times 11 \times 12 = 1716. \]

Теперь найдем \( M_1 \), \( M_2 \) и \( M_3 \), которые равны \( M \) деленному на соответствующий модуль:

\[ M_1 = \frac{1716}{13} = 132, \] \[ M_2 = \frac{1716}{11} = 156, \] \[ M_3 = \frac{1716}{12} = 143. \]

Далее найдем обратные элементы \( M_1^{-1} \), \( M_2^{-1} \) и \( M_3^{-1} \) по модулям 13, 11 и 12 соответственно. Обратные элементы можно найти, используя расширенный алгоритм Евклида или метод подбора. В данном случае, обратные элементы равны:

\[ M_1^{-1} \equiv 2 \pmod{13}, \] \[ M_2^{-1} \equiv 8 \pmod{11}, \] \[ M_3^{-1} \equiv 8 \pmod{12}. \]

Теперь можем найти значение \( x \) по формуле:

\[ x \equiv (a_1 \times M_1 \times M_1^{-1}) + (a_2 \times M_2 \times M_2^{-1}) + (a_3 \times M_3 \times M_3^{-1}) \pmod{M}, \]

где \( a_1 = a_2 = 1 \) и \( a_3 = 9 \).

Подставляем значения:

\[ x \equiv (1 \times 132 \times 2) + (1 \times 156 \times 8) + (9 \times 143 \times 8) \pmod{1716}. \]

Рассчитаем это выражение:

\[ x \equiv 528 + 1248 + 10368 \pmod{1716}. \]

Теперь складываем числа:

\[ x \equiv 12144 \pmod{1716}. \]

И находим остаток от деления 12144 на 1716:

\[ x \equiv 396 \pmod{1716}. \]

Таким образом, после строительства дома осталось 396 плиток.