Question

Вычислить значение производной сложной функции z=z(x; y), где x=x(t), y=y(t) при t=t0; z= Ln(e^x+e^y), x=t^2, y=t^3, t0=0

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle z = ln(e^x+e^y)\\x= t^2\\y=t^3\\t_0=0$

$\displaystyle \frac{dz}{dt} = \frac{\delta z}{\delta x} *\frac{dx}{dt} +\frac{\delta z}{\delta y} *\frac{dy}{dt}$

$\displaystyle \frac{\delta z}{\delta x} = \frac{e^x}{e^x+e^y}$

$\displaystyle \frac{\delta z}{\delta y} = \frac{e^y}{e^x+e^y}$

$\displaystyle \frac{dx}{dt } = 2t$

$\displaystyle \frac{dy}{dt } = 3t^2$

итого получим производную

$\displaystyle \frac{dz}{dt } = \frac{e^x}{e^x+e^y} 2t+\frac{e^y}{e^x+e^y} 3t^2$

теперь надо посчитать в точке t₀ =0

хотя и сразу видно, что всё выражение в точке t₀ =0 будет =0, но мы по правилу  посчитаем значения х и у в точке t₀, потом подставим эти значения в формулу

x(0) = 0² = 0;   y(0)=0³ = 0

$\displaystyle \frac{dz}{dt }_{(0)} = \frac{e^0}{e^0+e^0} 2*0+\frac{e^0}{e^0+e^0} 3*0^2=\frac{1}{2} *0+\frac{1}{2} *0= 0$

Answer 2

Для вычисления значения производной сложной функции \(z = z(x, y)\), где \(x = x(t)\), \(y = y(t)\), при \(t = t_0 = 0\), сначала нужно найти частные производные функции \(z\) по \(x\) и \(y\), а затем воспользоваться правилом цепи для нахождения производных \(x\) и \(y\) по \(t\), и подставить \(t = t_0\).

Для начала найдем частные производные функции \(z\) по \(x\) и \(y\):

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \ln(e^x + e^y) \right) \] \[ = \frac{1}{e^x + e^y} \cdot \frac{\partial}{\partial x} \left( e^x + e^y \right) \] \[ = \frac{1}{e^x + e^y} \cdot (e^x + 0) \] \[ = \frac{e^x}{e^x + e^y} \]

Аналогично, для \(\frac{\partial z}{\partial y}\):

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{e^x + e^y} \cdot (0 + e^y) \] \[ = \frac{e^y}{e^x + e^y} \]

Теперь найдем производные \(x\) и \(y\) по \(t\):

\[ \frac{dx}{dt} = 2t \] \[ \frac{dy}{dt} = 3t^2 \]

Используя правило цепи, выразим производные \(z\) по \(t\):

\[ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt} \] \[ = \left( \frac{e^x}{e^x + e^y} \right) \cdot (2t) + \left( \frac{e^y}{e^x + e^y} \right) \cdot (3t^2) \]

Теперь подставим значения \(x = t^2\), \(y = t^3\) и \(t = t_0 = 0\):

\[ \frac{dz}{dt} \Bigg|_{t=0} = \left( \frac{e^{t^2}}{e^{t^2} + e^{t^3}} \right) \cdot (2 \cdot 0) + \left( \frac{e^{t^3}}{e^{t^2} + e^{t^3}} \right) \cdot (3 \cdot 0^2) \] \[ = \left( \frac{e^{0}}{e^{0} + e^{0}} \right) \cdot 0 + \left( \frac{e^{0}}{e^{0} + e^{0}} \right) \cdot 0 \] \[ = 0 \]

Таким образом, значение производной сложной функции \(z = z(x, y)\) при \(t = t_0 = 0\) равно \(0\).