Question

Задание. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. y = sin x , y = cos x , x = 0 , x=Пи/2

Answer 1

Ответ:

Будем искать сумму площадей (они разделены жёлтой линией)

синий y = sin(x)

зеленый y = cos(x)

$S1 = \int\limits ^{ \frac{\pi}{4} } _ { 0 } \sin(x) dx = - \cos(x) | ^{ \frac{\pi}{4} } _ {0} = \\ = - \cos( \frac{\pi}{4} ) + \cos(0) = - \frac{ \sqrt{2} }{2} + 1$

$S2 = \int\limits ^{ \frac{\pi}{2} } _ { \frac{\pi}{4} } \cos(x) dx = \sin( x ) \int\limits ^{ \frac{\pi}{2} } _ { \frac{\pi}{2} } = \\ = \sin( \frac{\pi}{2} ) - \sin( \frac{\pi}{4} ) = \\ = 1 - \frac{ \sqrt{2} }{2}$

$S = S1 + S2 = - \frac{ \sqrt{2} }{2} + 1 + 1 - \frac{ \sqrt{2} }{2} = \\ = 2 - \sqrt{2}$

Ответ:

$S= 2 - \sqrt{2}$

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций y = sin(x), y = cos(x), x = 0 и x = π/2, мы можем воспользоваться методом интегрирования. Перед тем, как мы начнем, давайте взглянем на графики этих функций, чтобы найти интересующую нас область.

Графики функций y = sin(x) и y = cos(x)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, np.pi/2, 100)
y_sin = np.sin(x)
y_cos = np.cos(x)

plt.plot(x, y_sin, label='y = sin(x)')
plt.plot(x, y_cos, label='y = cos(x)')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()


Из графиков видно, что мы ищем площадь между кривыми y = sin(x) и y = cos(x) на интервале от x = 0 до x = π/2.

Давайте приступим к вычислению площади. Мы можем воспользоваться интегралом, чтобы найти площадь под кривыми. Поскольку мы ищем площадь между двумя кривыми, мы должны вычесть одну площадь из другой.

Вычисление площади

Интеграл для нахождения площади между двумя кривыми можно записать как:

S = ∫[a, b] |f(x) - g(x)| dx

где a и b - границы интервала, f(x) и g(x) - функции, ограничивающие фигуру.

В нашем случае, границы интервала это x = 0 и x = π/2, а функции f(x) и g(x) это sin(x) и cos(x) соответственно.

Теперь, давайте вычислим площадь:

S = ∫[0, π/2] |sin(x) - cos(x)| dx

Мы можем решить этот интеграл аналитически или численно. Но в данном случае, для простоты, воспользуемся численным методом, таким как метод прямоугольников или метод трапеций.

Вычисление численным методом

Для вычисления площади численным методом, мы будем использовать метод трапеций. Этот метод разбивает область под кривой на маленькие трапеции и приближает площадь каждой трапеции.

import numpy as np

def f(x):
    return np.abs(np.sin(x) - np.cos(x))

a = 0
b = np.pi/2
n = 1000  # количество трапеций

dx = (b - a) / n
x = np.linspace(a, b, n+1)
y = f(x)

area = 0.5 * dx * np.sum(y[1:] + y[:-1])

После выполнения вычислений, мы получим значение площади фигуры, ограниченной графиками y = sin(x), y = cos(x), x = 0 и x = π/2.

Полученная площадь: {area}

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = sin(x), y = cos(x), x = 0 и x = π/2, составляет {area}.