Question

В прямоугольнике ABCD, высота которого 14м, основание-8м, выделили четырёхугольник EFGH так, что точки E, F, G, H лежат на серединах сторон прямоугольника ABCD. Определите площадь EFGH​

Answer 1

Ответ:  56 м².

Пошаговое объяснение:

S(ABCD)=  14*8= 112  м².

Прямоугольник EFGH отсекает  четыре равных треугольника каждый из которых имеет площадь  s=ab/2=7*4/2=14 м².

Тогда S(EFGH)=S(ABCD)-4s=112 - 4* 14= 112  -  56  =  56  м².

Это доказывает то, что прямоугольник, построенный внутри другого, вершинами которого являются середины сторон,   делит площадь пополам.

Answer 2

Четырёхугольник efgh является параллелограммом, так как его противоположные стороны параллельны и равны (по условию точки e, f, g, h - середины сторон ab, bc, cd, da прямоугольника). Для нахождения площади параллелограмма можно использовать два метода.

1. Метод площадей треугольников. Мы можем разделить параллелограмм efgh на два треугольника - egh и efh, проведя диагонали eg и fh. Площадь параллелограмма будет равна сумме площадей этих двух треугольников: S(e,f,g,h) = S(e,g,h) + S(e,f,h).

Площадь треугольника вычисляется по формуле: S = (1/2) * основание * высота.

Треугольник egh имеет высоту, равную высоте прямоугольника (14 м) и основание, равное половине одной из сторон прямоугольника (к примеру, умаляется дважды a=8/2=4 м): S(e,g,h) = (1/2) * 4 м * 14 м = 28 м².

Треугольник efh также имеет высоту, равную высоте прямоугольника (14 м), а основание, равное половине одной из сторон прямоугольника (к примеру, умножается дважды b=14/2=7 м): S(e,f,h) = (1/2) * 7 м * 14 м = 49 м².

Итак, площадь параллелограмма efgh равна: S(e,f,g,h) = S(e,g,h) + S(e,f,h) = 28 м² + 49 м² = 77 м².

2. Метод векторного произведения. Можно рассмотреть параллелограмм efgh как два вектора eg и fh и вычислить их векторное произведение. Модуль векторного произведения двух векторов равен площади параллелограмма, образованного этими векторами. Для вычисления модуля векторного произведения необходимо умножить длины векторов на синус угла между ними:

S(e,f,g,h) = |eg| * |fh| * sin(угол efg).

Длины векторов |eg| и |fh| равны половине соответствующих сторон прямоугольника (|eg| = |fh| = 8 м/2 = 4 м). Угол efg равен 90 градусов, так как eg и fh являются диагоналями параллелограмма (противоположные углы параллельных сторон одного и того же параллелограмма сумма которых равна 180 градусам).

S(e,f,g,h) = 4 м * 4 м * sin(90°) = 4 м * 4 м * 1 = 16 м².

Таким образом, площадь параллелограмма efgh равна 16 м².