Question

Найти стационарные точки функции: 2. y = -x^2 + 1 4. y = x^3 + 3x^2 8. y = 6e^2x - e^3x Найти точки экстремума функции: 14. y = x^3 + 6x^2

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Найти стационарные точки функции:

стационарные точки функции это точки, в которых производная функции  равна нулю

2. y = -x² + 1;  y'= -2x;  -2x =0;  x₀ = 0

4. y = x³ + 3x²; y' = 3x² +6x; 3x² +6x=0; 3x(x+3)=0; x₁ =0;  x₂= -3

8. y = 6e²ˣ - e³ˣ ; y' = 12e²ˣ-3e³ˣ;

-3e²ˣ(eˣ-4)=0; -3e²ˣ =0 - нет вешественных корней

eˣ-4=0;  x₀ = ln(4)

Найти точки экстремума функции:

14. y = x³ + 6x²

y' = 3x²+12x

3x(x+4) = 0; x₁ = 0; x₂ = -4 это и есть точки экстремума функции

у(0) = 0

у(-4) = 32

Answer 2

1. Для нахождения стационарных точек функции первым шагом нужно найти её производную и приравнять её к нулю.

a) Функция y = -x^2: Производная данной функции равна y' = -2x. Приравняем производную к нулю: -2x = 0. Отсюда получаем, что x = 0. Подставляя полученное значение x в исходную функцию, получим y = -(0)^2 = 0. Стационарная точка функции y = -x^2: (0, 0).

b) Функция y = x^3 + 3x^2: Производная данной функции равна y' = 3x^2 + 6x. Приравняем производную к нулю: 3x^2 + 6x = 0. Упростив это уравнение, получим: x(x + 2) = 0. Из него следует, что x = 0 или x = -2. Подставляя полученные значения x в исходную функцию, получим: - При x = 0: y = (0)^3 + 3(0)^2 = 0. - При x = -2: y = (-2)^3 + 3(-2)^2 = -8 + 12 = 4. Стационарные точки функции y = x^3 + 3x^2: (0, 0) и (-2, 4).

c) Функция y = 6e^2x - e^3x: Производная данной функции равна y' = 12e^2x - 3e^3x. Приравняем производную к нулю: 12e^2x - 3e^3x = 0. Разделим это уравнение на e^2x: 12 - 3e = 0. Отсюда получаем, что e = 4. Подставляя полученное значение e в исходную функцию, получим: y = 6(4) - (4)^3 = 24 - 64 = -40. Стационарная точка функции y = 6e^2x - e^3x: (4, -40).

2. Для нахождения точек экстремума функции нужно найти её производную, приравнять её к нулю и найти значения x, которые дают экстремум.

d) Функция y = x^3 + 6x^2: Производная данной функции равна y' = 3x^2 + 12x. Приравняем производную к нулю: 3x^2 + 12x = 0. Упростив это уравнение, получим: x(x + 4) = 0. Из него следует, что x = 0 или x = -4. Подставляя полученные значения x в исходную функцию, получим: - При x = 0: y = (0)^3 + 6(0)^2 = 0. - При x = -4: y = (-4)^3 + 6(-4)^2 = -64 + 96 = 32. Таким образом, точки экстремума функции y = x^3 + 6x^2: (0, 0) (минимум) и (-4, 32) (максимум).