Question

Исследовать функцию, построить графикy=x³+6x²-15x+8​

Answer 1

Ответ:

===============================

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для исследования функции \(y = x^3 + 6x^2 - 15x + 8\), мы можем применить методы анализа функций, такие как нахождение производных, точек экстремума, интервалов убывания и возрастания, а также нахождение точек перегиба и интервалов выпуклости и вогнутости. Давайте начнем с нахождения производных функции.

Первая производная функции \(y\) по отношению к \(x\) равна:

\[y' = 3x^2 + 12x - 15.\]

Теперь найдем точки экстремума, приравняв первую производную к нулю:

\[3x^2 + 12x - 15 = 0.\]

Это квадратное уравнение можно решить с помощью квадратного корня или других методов. Факторизуя уравнение или используя квадратное уравнение, мы можем найти два значения \(x\), которые будут являться точками экстремума. Решение этого уравнения дает нам значения \(x = -5\) и \(x = 1\).

Теперь найдем значения функции в этих точках и в точке, где \(y'\) не существует. Подставляя \(x = -5\), \(x = 1\) и решая уравнение \(3x^2 + 12x - 15 = 0\), получаем:

1. Когда \(x = -5\), \(y = (-5)^3 + 6(-5)^2 - 15(-5) + 8 = 0.\) 2. Когда \(x = 1\), \(y = 1^3 + 6(1)^2 - 15(1) + 8 = 0.\)

Следовательно, у функции есть две точки экстремума: \((-5, 0)\) и \((1, 0)\).

Теперь давайте проанализируем вторую производную функции для определения выпуклости и вогнутости:

\[y'' = 6x + 12.\]

Таким образом, вторая производная всегда положительна (\(6x + 12 > 0\)), что означает, что функция вогнута вниз на всей области определения.

Теперь рассмотрим поведение функции на бесконечности. При \(x \to -\infty\) и \(x \to +\infty\), функция уходит в бесконечность, так как кубический член имеет наибольшее влияние на функцию в этом случае.

Итак, краткое исследование функции \(y = x^3 + 6x^2 - 15x + 8\) показывает, что у нее две точки экстремума в \((-5, 0)\) и \((1, 0)\), и она вогнута вниз на всей своей области определения. Также функция уходит в бесконечность при \(x \to -\infty\) и \(x \to +\infty\).