Question

Найдите точку максимума функции y=-19+108x-x^3

Answer 1

Пошаговое объяснение:

пкпинндпаааууваооиппн

Answer 2

Для нахождения точки максимума функции \(y = -19 + 108x - x^3\), нужно выполнить несколько шагов. Максимум функции находится в точке, где производная функции равна нулю, и вторая производная отрицательна (это необходимое условие для максимума).

1. Начнем с нахождения производной функции \(y\) по \(x\): \[y' = \frac{d}{dx}(-19 + 108x - x^3)\]

Чтобы найти производную, мы просто находим производные каждого члена по отдельности: \[y' = \frac{d}{dx}(-19) + \frac{d}{dx}(108x) - \frac{d}{dx}(x^3)\]

Рассмотрим каждый член по отдельности:

- Производная константы (-19) равна нулю: \(\frac{d}{dx}(-19) = 0\). - Производная \(108x\) равна \(108\) (поскольку производная по \(x\) от \(x\) равна 1): \(\frac{d}{dx}(108x) = 108\). - Производная \(x^3\) равна \(3x^2\): \(\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2\).

Теперь объединим все члены: \[y' = 0 + 108 - 3x^2 = 108 - 3x^2\]

2. Теперь найдем точки, где \(y' = 0\), так как это условие максимума: \[0 = 108 - 3x^2\]

Выразим \(x\) из этого уравнения: \[3x^2 = 108\] \[x^2 = 36\] \[x = \pm 6\]

3. Теперь, чтобы определить, являются ли эти точки максимумами, минимумами или седловыми точками, мы можем воспользоваться второй производной тестом. Для этого найдем вторую производную функции \(y\).

\[y'' = \frac{d}{dx}(108 - 3x^2)\]

Снова разбиваем производную на части: \[y'' = \frac{d}{dx}(108) - \frac{d}{dx}(3x^2)\]

- Производная константы \(108\) равна нулю: \(\frac{d}{dx}(108) = 0\). - Производная \(3x^2\) равна \(6x\): \(\frac{d}{dx}(3x^2) = 6x\).

Теперь у нас есть вторая производная: \[y'' = 0 - 6x = -6x\]

4. Подставляем \(x = 6\) и \(x = -6\) во вторую производную, чтобы определить, являются ли эти точки максимумами или минимумами:

- Для \(x = 6\): \(y''(6) = -6 * 6 = -36\). Поскольку \(y''(6)\) отрицательна, то это указывает на максимум.

- Для \(x = -6\): \(y''(-6) = -6 * (-6) = 36\). Поскольку \(y''(-6)\) положительна, то это указывает на минимум.

Итак, функция \(y = -19 + 108x - x^3\) имеет максимум в точке \((6, y(6))\) и минимум в точке \((-6, y(-6))\). Максимум находится выше минимума и равен \(y(6)\), а минимум равен \(y(-6)\).