Question

При каких значениях m прямая y=1 касается параболы y =x^2-2x+m?​

Answer 1

$y = x^2 - 2x +m$

Параметр m определяет только высоту подъёма параболы над осью OX.

Так как нас интересует $y = 1$, то

$x^2 - 2x +m = 1$

$x^2 - 2x + (m-1) = 0$

Для того, чтобы прямая $y = 1$ касалась параболы, а не пересекала её, дискриминант должен быть равен 0.

$D = 4 - 4(m-1) = 0$

$4(m-1) = 4$

$m -1 = 1$

$m = 2$ - ответ.

==================

Если ответ устроил, не забудь отметить его как "Лучший".

Answer 2

Чтобы определить при каких значениях \(m\) прямая \(y = 1\) касается параболы \(y = x^2 - 2x + m\), мы можем использовать критерий касания, который заключается в том, что дискриминант уравнения параболы должен быть равен нулю, когда подставляется значение \(y = 1\) в уравнение параболы.

Уравнение параболы \(y = x^2 - 2x + m\) можно переписать в виде \(y = (x - 1)^2 + (m - 1)\). Таким образом, уравнение параболы в форме вершины имеет вид \(y = a(x - h)^2 + k\), где вершина находится в точке \((h, k)\).

Подставим \(y = 1\) в уравнение параболы:

\[1 = (x - 1)^2 + (m - 1).\]

Раскроем скобки:

\[1 = x^2 - 2x + 1 + m - 1.\]

Сократим подобные члены:

\[1 = x^2 - 2x + m.\]

Теперь сравним это с уравнением прямой \(y = 1\). Поскольку уравнение прямой не зависит от \(x\), то \(y\) всегда равно \(1\). Следовательно, мы можем сравнить коэффициенты при одинаковых степенях \(x\) в уравнениях параболы и прямой:

\[1 = 0x^2 + 0x + 1.\]

Теперь уравнения параболы и прямой имеют одинаковые формы, поэтому для касания дискриминант уравнения параболы должен быть равен нулю:

\[\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 4 - 4m.\]

Чтобы прямая \(y = 1\) касалась параболы \(y = x^2 - 2x + m\), дискриминант должен быть равен нулю:

\[4 - 4m = 0.\]

Решим это уравнение относительно \(m\):

\[4m = 4.\] \[m = 1.\]

Таким образом, при \(m = 1\) прямая \(y = 1\) будет касаться параболы \(y = x^2 - 2x + 1\).