Question

Выяснить, какими свойствами (рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность) обладает заданное бинарное отношение. с пояснением p={(x,y)∈ R*R|x^2=y}

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:в приложении

Answer 2

Давайте рассмотрим заданное бинарное отношение p на множестве R (действительных чисел) и определим, какие свойства (рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность) оно обладает.

Бинарное отношение p задано следующим образом: p = {(x, y) ∈ R * R | x^2 = y}

1. Рефлексивность: Отношение p называется рефлексивным, если для любого элемента a из множества R выполняется условие (a, a) ∈ p. Другими словами, каждый элемент из R связан с самим собой по отношению p.

В данном случае, для любого действительного числа a, если a^2 = a, то (a, a) ∈ p. Рассмотрим два случая: a = 0: 0^2 = 0, поэтому (0, 0) ∈ p. a ≠ 0: Если a ≠ 0, то a^2 = a можно переписать как a(a - 1) = 0, что означает, что a = 0 или a = 1. Таким образом, (1, 1) ∈ p.

Итак, отношение p является рефлексивным, так как для всех элементов a из R выполнено условие (a, a) ∈ p.

2. Симметричность: Отношение p называется симметричным, если для любых элементов a и b из множества R, если (a, b) ∈ p, то (b, a) также должно принадлежать p.

В данном случае, пусть (a, b) ∈ p, то есть a^2 = b. Мы должны показать, что (b, a) также принадлежит p, то есть b^2 = a. Это не всегда выполняется, так как возведение в квадрат не является обратимой операцией. Например, если a = 2 и b = 4, то (2, 4) ∈ p, но (4, 2) не принадлежит p.

Итак, отношение p не является симметричным.

3. Антисимметричность: Отношение p называется антисимметричным, если для любых элементов a и b из множества R, если (a, b) и (b, a) принадлежат p, то a должно быть равно b.

В данном случае, отношение p автоматически антисимметрично, потому что мы показали, что оно не является симметричным (см. пункт 2), и для любого элемента a из множества R, если (a, a) ∈ p (см. пункт 1), то это означает, что a = a, что удовлетворяет условию антисимметричности.

4. Транзитивность: Отношение p называется транзитивным, если для любых элементов a, b и c из множества R, если (a, b) и (b, c) принадлежат p, то (a, c) также должно принадлежать p.

В данном случае, пусть (a, b) и (b, c) принадлежат p, то есть a^2 = b и b^2 = c. Мы должны показать, что (a, c) также принадлежит p, то есть a^2 = c. Это выполняется, так как мы можем объединить первое и второе уравнения:

a^2 = b и b^2 = c a^2 = b и a^2 = c

Таким образом, (a, c) ∈ p, и отношение p является транзитивным.

Итак, бинарное отношение p обладает свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности, но не обладает свойством симметричности.