Question

Log3((x+2)(x-2))=4log9(2x+3)-log5^1/2(5) пожалуйста подробно

Answer 1

Ответ:

$x = \frac{6 + 3\sqrt{29}}{5}$

Подробное решение:

$></p><p>ОДЗ:</p><p><img src=$

{ x ∈ (-∞; -2) ∪ (2; +∞),

{ x ∈ (-1,5; +∞);

x ∈ (2; +∞)

$x^2 - 4 = \frac{(2x+3)^2}{9} \\x^2 - 4 = \frac{4x^2 + 12x + 9}{9}\\9x^2 - 36 = 4x^2 + 12x + 9\\5x^2 -12x - 45 = 0\\D = 144 + 900 = 1044 = 3\sqrt{29} \\x_1 = \frac{6 - 3\sqrt{29}}{5} \\x_2 = \frac{6 + 3\sqrt{29}}{5}$

x₁ ∉ ОДЗ

x₂ ∈ ОДЗ

Ответ: $x = \frac{6 + 3\sqrt{29}}{5}$

Answer 2

Давайте рассмотрим ваше уравнение:

log₃((x+2)(x-2)) = 4log₉(2x+3) - log₅^(1/2)(5)

Для решения этого уравнения, начнем с того, что переведем все логарифмы к общему основанию (можем выбрать любое удобное основание, например, 10). В данном случае, я буду использовать логарифмы по основанию 10:

log₃((x+2)(x-2)) = (4/2)log₉(2x+3) - log₅^(1/2)(5)

Теперь мы можем воспользоваться свойствами логарифмов для упрощения уравнения:

1. Правило логарифма: logₐ(b) = (1/c) * logₐ(b^c) 2. Правило изменения основания логарифма: logₐ(b) = log_c(b) / log_c(a)

Применим эти правила:

log₃((x+2)(x-2)) = log₉((2x+3)²) - log₅(5^(1/2))

Теперь используем правило суммы/разности логарифмов:

log₃((x+2)(x-2)) = log₉((2x+3)²) - log₅(5)

Используем правило логарифма для квадрата:

log₃((x+2)(x-2)) = 2 * log₉(2x+3) - log₅(5)

Теперь у нас есть одинаковые логарифмы в обоих частях уравнения. Мы можем избавиться от логарифмов, применив обратные операции - возведение в степень и перевод в экспоненциальную форму:

(x+2)(x-2) = (2x+3)² / 5

Раскроем квадрат в числителе:

(x+2)(x-2) = (4x² + 12x + 9) / 5

Теперь у нас есть уравнение без логарифмов:

(x² - 4) = (4x² + 12x + 9) / 5

Умножим обе стороны уравнения на 5, чтобы избавиться от дробей:

5(x² - 4) = 4x² + 12x + 9

Распишем уравнение:

5x² - 20 = 4x² + 12x + 9

Теперь переносим все члены на одну сторону уравнения:

5x² - 4x² - 12x - 20 - 9 = 0

x² - 12x - 29 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью дискриминанта:

Дискриминант (D) = b² - 4ac

где a = 1, b = -12, и c = -29. Подставим значения:

D = (-12)² - 4(1)(-29) D = 144 + 116 D = 260

Так как дискриминант положителен (D > 0), у нас есть два действительных корня. Мы можем использовать формулу квадратного корня:

x₁ = (-b + √D) / 2a x₂ = (-b - √D) / 2a

Подставим значения:

x₁ = (12 + √260) / 2 x₁ = (12 + 2√65) / 2 x₁ = 6 + √65

x₂ = (12 - √260) / 2 x₂ = (12 - 2√65) / 2 x₂ = 6 - √65

Итак, у нас есть два корня уравнения:

x₁ = 6 + √65 x₂ = 6 - √65

Это является решением исходного логарифмического уравнения.