Question

За сколько часов велосипед прооедет 54 км/ч, если в первый час он проехал 15 км/ч, а в последующие часы на 1 км/ч меньше? (Решите прогрессией)

Answer 1

Ариф. прогрессия.
a1=15; d=-1
S(n) = (2a1+d(n-1) )*n/2 = 54
(30-(n-1))*n = 108
31n - n^2 = 108
n^2 - 31n + 108 = 0
(n - 4)(n - 27) = 0
Очевидно, нужно брать меньшее значение.
n = 4.
Проверяем.
15+14+13+12=54
Все правильно.

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся арифметической прогрессией. Поскольку скорость велосипеда уменьшается на 1 км/ч каждый час, это означает, что у нас имеется арифметическая прогрессия с первым членом a = 15 и разностью d = -1.

Общий член арифметической прогрессии можно выразить следующей формулой: a_n = a + (n - 1) * d,

где a_n - n-й член прогрессии, a - первый член прогрессии, d - разность прогрессии, n - номер члена прогрессии.

Для нахождения времени, за которое велосипед проедет 54 км, необходимо найти номер члена прогрессии n, при котором сумма первых n членов прогрессии равна 54.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии может быть найдена по формуле: S_n = n/2 * (a + a_n).

Так как у нас S_n = 54, подставим известные значения: 54 = n/2 * (15 + a_n).

Теперь найдем a_n, подставив значения a и d в формулу для a_n: a_n = 15 + (n - 1) * (-1).

Теперь мы имеем два уравнения:

1. 54 = n/2 * (15 + a_n).
2. a_n = 15 - (n - 1).

Решим систему уравнений:

Из уравнения 2) выразим a_n и подставим в уравнение 1): 54 = n/2 * (15 + 15 - (n - 1)).

Упростим: 54 = n/2 * (30 - n + 1).

Продолжим упрощать: 54 = n/2 * (31 - n).

Теперь избавимся от дроби, умножив обе части уравнения на 2: 108 = n * (31 - n).

Раскроем скобки: 108 = 31n - n^2.

Получим квадратное уравнение: n^2 - 31n + 108 = 0.

Теперь найдем корни уравнения. Можно воспользоваться квадратным корнем или разложением на множители: (n - 4)(n - 27) = 0.

Таким образом, у нас два корня: n = 4 и n = 27.

Теперь проверим, какой из них подходит нам по условию задачи.

Для n = 4: a_4 = 15 + (4 - 1) * (-1) = 15 - 3 = 12, S_4 = 4/2 * (15 + 12) = 4/2 * 27 = 54 (подходит).

Для n = 27: a_27 = 15 + (27 - 1) * (-1) = 15 - 26 = -11, S_27 = 27/2 * (15 + (-11)) = 27/2 * 4 = 54 (подходит).

Оба варианта подходят, но согласно условию велосипед должен проехать 54 км за 27 часов.