Question

Учитель по математике задал Алисе следующее задание: в клетки квадрата 4×4 нужно вписать цифры от 1 до 4 так, чтобы в каждой вертикали и в каждой горизонтали встречались все цифры ровно по одному разу. Алиса заполнила 4 клеточки и устала. Ее брат Боб согласился ей помочь. Сколькими способами он может завершить задание?

Answer 1

Ответ:

432 способами.

Пошаговое объяснение:

Будем заполнять квадрат построчно.

Способов составить правильную первую строку 4! = 24.

Способов выбрать вторую строку 4! - 1 - 6 - 8 = 9.

(1, 6 и 8 - количество способов составить вторую строку, совпадающую с первой в 4, 2 и 1 позициях соответственно. Если совпадает в 3 позициях, то совпадает и в 4, поэтому отдельно такую строку считать не нужно.)

Если известны первые две строки, то третья может быть составлена только двумя способами, после чего однозначно определяется последняя строка.

Итого способов: 24 * 9 * 2 = 432.

Answer 2

Ответ:

в пошаговом описании

Пошаговое объяснение:

1234

4123

3412

2341

1432

2143

3214

4321

Answer 3

Для решения этой задачи, нам нужно рассмотреть возможные варианты размещения оставшихся цифр в каждой из свободных клеток.

Первоначально Алиса уже заполнила 4 клетки, поэтому у нас осталось 12 свободных клеток, в которые нужно вписать оставшиеся цифры от 1 до 4.

Располагая только одну цифру в одной клетке, нет важности, где она будет находиться, поэтому для первой цифры у нас возможно 12 вариантов размещения.

Теперь рассмотрим оставшиеся три цифры и возможности их расположения.

В каждой вертикали и горизонтали должны встречаться все цифры ровно по одному разу.

В первой строке у нас уже есть одна заполненная клетка, поэтому вторую третью и четвертую цифры мы можем разместить в 3 оставшихся клетках строки, их местоположение может быть выбрано 3! = 3*2*1 = 6 способами.

Аналогично для второй, третьей и четвертой строк у нас также есть 3 оставшиеся клетки для размещения, и их местоположение может быть выбрано 6 различными способами.

Таким образом, общее количество способов, которыми Боб может завершить задание, равно произведению количества способов размещения цифр в каждой из строк. То есть количество способов равно 6*6*6*6 = 1296 способам.

Итак, Боб может завершить задание 1296 способами.